Здесь рассказывается об особых, специализированных приемах решения тестовых заданий ЕГЭ и ЕНТ по математике. Эти приемы позволяют абитурентам без проблем сдавать ЕГЭ и ЕНТ.
Этот раздел посвящен урокам решениям тестовых заданий ЕГЭ и ЕНТ. Эти материалы помогут подготовиться учащимся к успешной сдаче выпускных экзаменов, а учителям послужат полезным дидактическим материалом.
Каждый выпускник сам решает, как ему использовать последние дни перед ЕГЭ, на какой предмет больше обратить внимание. Мы можем лишь дать некоторые советы, которые на прошлых выпускных экзаменах сыграли для многих учащихся определяющую роль, помогли, казалось бы, в самых безвыходных ситуациях, когда тест по математике совсем уж было невозможно решить.
Так с чего же надо начинать решение тестового задания? Отметим, что не
нужно «открывать Америку». В предыдущих номерах нашей газеты приемам
решения тестовых заданий были по-священы две статьи «Зри в ответ» и
«Решаем быстро и правильно». Нужно еще раз прочитать эти статьи,
усвоить рассмотренные в них приемы. Если же кто-то не читал эти статьи,
то нужно изучить (скачать) на сайтах egeent.ucoz.ru или
egeent.narod.ru. при этом не просто прочитать, а проштудировать с
карандашом в руках.
Некоторые читатели могут сказать, что им
были непонятны определённые моменты в этих статьях. Нестрашно, есть
школьный учитель, который никогда не откажет в помощи своему ученику.
Есть также одноклассники, друзья и знакомые. Если человек захочет в
чем-то разобраться, что-то понять, то это всегда достижимо. Только надо
захотеть это сделать. После того, как вы выполните предыдущую
рекомендацию, прочитайте следующие советы. Они появились не как
результат фантазии автора этих строк, а выработаны практикой
многолетней подготовки учащихся к вступительным экзаменам в форме
тестирования. Эти рекомендации помогли ученикам автора этой статьи в
прошлом году сдать тест ЕНТ по математики только на четверки и пятерки,
без единой тройки.
Совет первый. Внимательно прочитайте
не только тестовое задание, но и ответы. Постарайтесь отбросить
невозможные ответы и сосредоточьте свое внимание на правдоподобных
ответах. Обратите внимание на свойства искомого ответа, которое следует
из условия теста. Проверьте, обладают ли этими свойствами оставшиеся
для анализа ответы.
Какое многословие или даже пустословие -
скажут некоторые скептики. Чтобы опровергнуть это рассмотрим примеры
решения тестов с опорой на первый совет.
Пример 1. Найдите самое наименьшее решение неравенства > 0.
A) 0 В) 1 C) -1 D) -2 E) 2
Если
не читать ответы совсем, то нужно решить данное неравенство, например,
методом интервалов, найти правильный ответ. При этом потребуются
примерно около десяти минут времени.
Поэтому будем пунктуально
следовать нашему совету. Но как же отбросить невозможные ответы? Кто
нам их покажет? А для чего мы сами? Выпишем сначала номера всех ответов
на черновике: A), В), C), D), E). «Зачем?» - спросят некоторые. Имейте
терпенье, читайте дальше наши рекомендации.
Обратите внимание,
что нужно найти самое наименьшее решение неравенства. А что если взять
самое наименьшее число из предложенных ответов и подставить его в
неравенство. Многие кинутся вычислять сначала числитель дроби из левой
части неравенства. Не нужно этого делать. Вычислите лучше сначала
знаменатель. Чему он будет равен? Конечно нулю. Тогда и числитель не
нужно вычислять. Значит - 2 - не искомое решение. Это мы отразим в
черновике вычёркиванием ответа D) - останутся ответы A), В), C), E).
Попробуем
теперь по аналогии проверить в качестве наименьшего решения
предложенный ответ С). Здесь также начнёт вычисления со знаменателя.
После этого картина с ответами будет иметь вид: A), В), E). Читатель, наверное, и сам найдет, что наименьшим решением будет число 0. То есть верным будет ответ А).
Таким
образом, если бы мы не читали ответов, то, наверное, либо не решили бы
это задание, либо потратили бы на него очень много времени.
Некоторые
читатели скажут, что это задание очень простое. Ничего нового автор
этих строк им не преподнес. Может быть вы правы, а может и нет. Это
докажут следующие примеры.
Пример 2. Укажите все номера рациональных чисел данного множества:
A) 1, 2, 5 В) 1, 3, 4 C) 1, 2, 4 D) 2, 3, 4 E) 1, 4, 5.
Ещё
раз пройдемся взглядом по заданному множеству чисел. Вычислять значение
первого выражения весьма накладно. Очевидно, что среди рациональных
чисел должно быть число 0,01(123). Поэтому следует выбросить ответы В)
и Е) - останутся A), C), D). Легко также понять, что
- иррациональное число. Опять уточнили список ответов:
A), C).
И, на конец, нетрудно установить, что Остается единственный ответ: C).
Пример 3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0; π].
Обычное
решение этого задания, как правило, связано с применением производной
при ис-следовании свойств функции на отрезке. Зададимся целью найти
самое быстрое решение этого задания. За что же зацепиться? Сами себе и
ответим, что кроме условия и ответов не за что. Так и поступим. В
ответах самым большим числом является число π√3.
Может ли это
число быть значением данной функции, для какого либо значения аргумента
из отрезка [0; π]? После недолгих раздумываний нетрудно подобрать это
значение аргумента. Оно равно π. Действительно, при х = π f(π) = √3π
+ sin2π = √3π + 0 = √3π. Значит правильные ответы либо В), либо С).
Какой же из них?
Опять применим рассмотренный только что
прием. Может ли 0 (наименьшее из чисел 0 и π) быть наименьшим значением
данной функции для какого-либо аргумента из отрезка [0; π]? Опять это
значение аргумента нетрудно подобрать, оно равно 0. Итак, правильный
ответ В).
Где же скажет искушенный в математике читатель
производная? А мы её не использовали, так как не решали математическую
задачу, а просто угадывали правильный ответ, так как условие тестового
задания само наталкивает нас на это действие. Да и угадать правильный
ответ в данном задании быстрее, чем решать математическую задачу.
Мы
привели достаточное, на наш взгляд, количество примеров. Возможно, это
наше субъективное мнение не отражает реальную действительность. Кому-то
покажется, что количество примеров, иллюстрирующих этот и другие
советы, не достаточно, и их следует увеличить. В этом случае мы
предлагаем после изучения первого и каждого из следующих советов
прервать чтение и взять имеющиеся у вас сборники с тестовыми заданиями
и попытаться найти в них упражнения, которые легко и быстро решались бы
с опорой на наши советы. Таким образом, наши советы можно читать не все
сразу, а постепенно.
Совет второй.
Вместо упрощения сложных алгебраических выражений подставляй в это
выражение и в предложенные для выбора ответы значения переменных из
этого выражения.
Пример 1. Упростить выражение
А) 2 В) 1 С) 0 D) 6 E) 4.
Некоторые
выпускники могут и забыть необходимые для решения этого задания
тригонометрические формулы. Но не беда. Будем считать в соответствие со
вторым советом α = β = γ. Тогда сразу получим, что значение данного
выражения равно 0 (ответ С). Наш второй совет позволил нам свести
решение некоторых заданий до нескольких секунд. Но не все так просто.
Пример 2. Упростите выражение
Нетрудно
догадаться применить подстановку а = 0. Но тогда b не должно равняться
0 (знаменатель не должен равняться 0). Считая, что а = 0 получим
значение данного выражения равное . Тогда список ответов сократится до В), C), D), так как значения вычеркнутых ответов не совпадают со значением .
Как
же быть далее? А мы положим а = 1, b = 0. При этих значениях а и b
значение исходного выражения равно 2. Это же значение принимает только
ответ С). Значит он искомый.
Зачем же тогда первое испытание
спросит недоуменный читатель. А это издержки нашего метода. Следует
знать, что нет универсальных путей решения задач, тестовых в частности. Очень полезен второй совет при упрощении стандартных тригонометрических выражений.
Пример 3. Упростить выражение
Хотелось
бы применить подстановкуα = 0. Но прошлый опыт подсказывает, что этого
делать нельзя (ответы С и D совпадут). Тогда будем считать, что α = 1800. Тогда значение данного выражения равно 0 и совпадает только со значением выражения из пункта D).
Совет третий. Пытайся всегда оценить значение арифметического выражения.
А) 508400. B) 58400 C) 5084. D) 585000. E) 5084000.
Понятно,
что авторы задания хотят проверить знание законов математических
операций. Однако нам надо срочно получить правильный ответ. Оценим
последнее слагаемое 976⋅ 5084 ≈ 1000 ⋅ 5000 = 5 000 000. Значит, правильным ответом может быть только Е).
Пример 2. Значение выражения после упрощения равно .
Оценим значение данного выражения. ≈ (6,… - 2,..) + (8,9… - 4,…) ≈ 4 + 4 = 8. Такой оценке явно не удовлетворят ответы: A), В), C), D). Остается только ответ Е).
Пример 3. Вычислить.
Очевидно, что≈ 0,9… - 0,9…≈ 0. Поэтому правильным будет ответ наиболее близкий к нулю, то есть А)
Отметим,
что метод оценки значений числовых выражений следует применять тогда,
когда предложенные ответы в тесте не близки друг другу. Как, например,
в следующем задании.
Пример 4. Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = √x, х = 1, х = 3, y = 0.
A) 4π B) π C) 2π D) 5π E) 3π.
Построим, указанные в условии задания линии в прямоугольной системе координат.
Заменим
дугу АВ на отрезок АВ. Тогда вместо того, чтобы вычислять объем
искомого тела будем вычислять объем усеченного конуса, полученного при
вращении трапеции ABCD вокруг оси ОХ. При этом искомый объем будет
незначительно отличаться от найденного объема.
Как известно, объем усеченного конуса вычисляется по формуле V = где Н = DC = 2, S1 – площадь круга с радиусом AD = 1, S2 - площадь круга с радиусом BC = √3.
Поэтому ≈ 3,8π. Так как искомый ответ должен быть чуть больше 3,8π. Он должен совпадать с ответом А).
Совет четвертый. Активнее используйте графики, геометрические чертежи.
Пример 1. К графику функции y = -проведены
две параллельные касательные, одна из которых проходит через точку А(3;
-0,5), принадлежащую графику функции. Составьте уравнение второй
касательной.
Конечно, это задание можно было бы решить и аналитически, но это может потребовать много времени.
Схематическое
изображение графика данной функции вместе с ее касательными позволяет
сделать первый вывод, полезный для отбрасывания явно неподходящих
ответов C) и D), так как график искомой касательной имеет положительный
угловой коэффициент. Поэтому список ответов будет таким: A), В), E).
При
этом точка пересечения второй касательной с осью ОY имеет положительную
ординату и эта ордината не превышает числа 1 . Подставим в оставшиеся
ответы х = 0. Это позволит отбросить еще два недостоверных ответа А) и
Е), и список кандидатов на правильный ответ уточнится: В) – правильный
ответ.
Пример 2. Вершина конуса и окружность, ограничивающая
его основание, находятся на сфере. Длина образующей конуса равна 4 см,
а его высота равна 2 см. Найдите (в куб. см) объем шара, ограниченного
сферой.
Рассмотрим осевое сечение данного конуса.
Очевидно,
что центр шара расположен на прямой SH. Так как центр шара еще и
равноудален от точек В и S, то он расположен на срединном
перпендикуляре к отрезку SB.Поэтому имеет смысл построить треугольник
SHB (по гипотенузе SB = 4 см и катету SH = 2 см). Через середину М
отрезка SB провести перпендикуляр к SB и найти точку пересечения этого
перпендикуляра с SH – точку О.
Однако
на практике нас ждет сюрприз. Мы ожидаем, что точка О будет лежать на
отрезке SH, но на самом деле точка О окажется на продолжении отрезка SH
за точку Н. Это расположение точки О обусловлено числовыми данными
задачи. К таким сюрпризам лучше быть готовым заранее. При других
условиях точка О может оказаться и на отрезке SH.
Выполняя измерение обычной школьной линейкой, получим, что SO ≈ 4 см. Поэтому искомый объем будет близок к числу ≈267,79. Найденное нами значение объема шара практически совпадает со значением выражения, приведённого в ответе D).
Отметим,
что предложенный нами метод решения этого тестового задания по времени
почти не отличается от времени, затрачиваемого учащимися при
математическом решение. Возникает вопрос: «Зачем нам два метода решения
одной и той же задачи?». Ответ на этот вопрос уже давно сформулирован:
«Лучше одну задачу решить несколькими способами, чем несколько задач
решать одним способом!». На экзамене же могут возникнуть различные
непредвиденные ситуации, например, ученик забудет нужную формулу,
способ решения стандартной задачи и т. п. Вот тут то и могут его
выручить специальные приемы решения тестовых заданий.
Пример 3. Найдите площадь фигуры, ограниченной кривыми y = 1 – x2 и y = 0.
А)10/3 В) 5/3 С) 2,5 D) 4/3 E) 7/3.
Построим
фигуру, площадь которой нужно найти и пометим нашу фигуру в
прямоугольник со сторонами 2 и 1 и впишем в эту же фигуру треугольник с
вершинами на данной параболе. Нетрудно понять, что искомая площадь
будет выражаться числом, заключенным в пределах от 1 до 2, то есть
правильный ответ будет совпадать с ответом D).
Р. М. Салимжанов, egeent"собачка"(замените "собачка" на @) bk.ru
Отличная статья!! Все понятно и доступно. Попробовала использовать эти методы. Раньше решала варианты за 95 минут, а теперь успела за 63. Существенная разница. Спасибо за очень полезную информацию :)
Прикольно) Никогда особо не дружила с математикой, но теперь кажется немного начинаю понимать как решить довольно внушительное количество заданий без знания формул....
Каждый выпускник сам решает, как ему использовать последние дни перед ЕГЭ, на какой предмет больше обратить внимание. Мы можем лишь дать некоторые советы, которые на прошлых выпускных экзаменах сыграли для многих учащихся определяющую роль, помогли, казалось бы, в самых безвыходных ситуациях, когда тест по математике совсем уж было невозможно решить.
Совет первый. Внимательно прочитайте
не только тестовое задание, но и ответы. Постарайтесь отбросить
невозможные ответы и сосредоточьте свое внимание на правдоподобных
ответах. Обратите внимание на свойства искомого ответа, которое следует
из условия теста. Проверьте, обладают ли этими свойствами оставшиеся
для анализа ответы.
> 0.
Остается единственный ответ: C).
на отрезке [0; π].
Совет второй.
Вместо упрощения сложных алгебраических выражений подставляй в это
выражение и в предложенные для выбора ответы значения переменных из
этого выражения.
. Тогда список ответов сократится до В), C), D), так как значения вычеркнутых ответов не совпадают со значением 
Совет третий. Пытайся всегда оценить значение арифметического выражения.
после упрощения равно .
.
≈ 0,9… - 0,9…≈ 0. Поэтому правильным будет ответ наиболее близкий к нулю, то есть А)
Заменим
дугу АВ на отрезок АВ. Тогда вместо того, чтобы вычислять объем
искомого тела будем вычислять объем усеченного конуса, полученного при
вращении трапеции ABCD вокруг оси ОХ. При этом искомый объем будет
незначительно отличаться от найденного объема.
где Н = DC = 2, S1 – площадь круга с радиусом AD = 1, S2 - площадь круга с радиусом BC = √3.
≈ 3,8π. Так как искомый ответ должен быть чуть больше 3,8π. Он должен совпадать с ответом А). 
Совет четвертый. Активнее используйте графики, геометрические чертежи.
проведены
две параллельные касательные, одна из которых проходит через точку А(3;
-0,5), принадлежащую графику функции. Составьте уравнение второй
касательной.
Однако
на практике нас ждет сюрприз. Мы ожидаем, что точка О будет лежать на
отрезке SH, но на самом деле точка О окажется на продолжении отрезка SH
за точку Н. Это расположение точки О обусловлено числовыми данными
задачи. К таким сюрпризам лучше быть готовым заранее. При других
условиях точка О может оказаться и на отрезке SH.
≈267,79. Найденное нами значение объема шара практически совпадает со значением выражения, приведённого в ответе D).
Построим
фигуру, площадь которой нужно найти и пометим нашу фигуру в
прямоугольник со сторонами 2 и 1 и впишем в эту же фигуру треугольник с
вершинами на данной параболе. Нетрудно понять, что искомая площадь
будет выражаться числом, заключенным в пределах от 1 до 2, то есть
правильный ответ будет совпадать с ответом D).
