Здесь рассказывается об особых, специализированных приемах решения тестовых заданий ЕГЭ и ЕНТ по математике. Эти приемы позволяют абитурентам без проблем сдавать ЕГЭ и ЕНТ.
Этот раздел посвящен урокам решениям тестовых заданий ЕГЭ и ЕНТ. Эти материалы помогут подготовиться учащимся к успешной сдаче выпускных экзаменов, а учителям послужат полезным дидактическим материалом.
Здесь я покажу как надо решить экономными, чем в курсе школьной математики, методами тестовые задания ЕГЭ типа В. При этом мои решения нацелены в первую очередь на получение быстрого, но в тоже время и правильного ответа.
Известно, что тестовые задания типа В не содержат ответов для выбора правильного среди них. Однако это не преграда для однозначного угадывания единственно правильного ответа.Посмотрим как это следует делать на следующем примере.
Решение. Неравенство 3 - 2х - х2 ≥ 0 не будет выполняться при достаточно больших по модулю значениях переменной х. Поэтому целые решения этого неравенства будем
искать при помощи обычного подбора.
При х = 0 и х = 1 данное неравенство будет выполняться, а при х > 2
оно не выполняется. Теперь точно также найдем отрицательные цулые
решения. Числа -1, -2, -3 удовлетворяют этому неравенству, а остальные
отрицательные целые числа не подходят.
Значит, целыми решениями неравенства 3 - 2х - х2 ≥ 0 будут -3, -2, -1, 0, 1. Из этих чисел надо выбрать те, которые обращают неравенство
1 + ctg2(πx/2) > 0 с переменной х в верное числовое неравенство.
При х = -3 имеем 1 + ctg2(-3π/2) > 0 или 1 > 0. -3 - решение этого неравенства. При х = -2 имеем 1 + ctg2(-π) > 0. Однако выражение ctg2(-π) не имеет смысла.
При х = -1 имеем 1 + ctg2(-π/2) > 0 или 1 > 0.-1 - решение неравенства. Аналогично находим еще одно решение 1.
Условию тестового задания удовлетворяют три числа -3, -1 и 1.
Как видно, при решении тестовых заданий невсегда надо искать чсито
математические решения. В нашем примере вполне пригодился и метод
подбора.
Решение. Как правило, такие задания решаются при помощи оценки левой и правой частей уравнения.
25х2 + 60х + 39 = (5х + 6)2 + 3 ≥ 3, равенство возможно только при 5х + 6 = 0, т. е. при х = -1,2. (√3 - cos(5πх/4))(√3 + cos(5πх/4)) = 3 - cos2(5πх/4) ≤ 3. При х = -1,2 имеем 3 - cos2(5πх/4) = 3 - cos2(3π/2) = 3 - 0 = 3.
Значит, х = -1,2 является единственным корнем данного уравнения.
Ответ: -1,2.
Пример 3. Функция y = f(x) определена на всей числовой прямой и
является периодической с периодом 4. На промежутке (-6; -2] уравнение
f(x) = 0 имеет ровно 5 различных корней, а на промежутке (-2; 0] оно
имеет ровно 3 различных корня. Сколько корней имеет это уравнение на
промежутке (0; 6]?
Решение. Примечание. Все дальнейшие словесные рассуждения советую сопровождать рисунками.
Если перенести промежуток (-6; -2] вдоль числовой прямой вправо на 8 единичных отрезков (два периода), то получим промежуток
(2; 6], на котором будет, как и на промежутеке (-6; -2] ровно 5 разничных корней уравнения f(x) = 0.
Если же перенести промежуток (-2; 0] вдоль числовой прямой вправо на 4 единичных отрезка (один период), то
получим промежуток
(2; 4], на котором будет, как и на промежутеке (-2; 0] ровно 3 разничных корня уравнения f(x)= 0.
Представим теперь промежуток (0; 6] как (0; 6] = (0;2]∪(2; 4]∪(4; 6]. Так как на промежутке
(2; 6] 5 корней, а на промежутке (2; 4] 3 корня, то на промежутке (4; 6] будет 5 - 3 = 2 корня.
Осталось найти количество корней на промежутке . Этот промежуток получается из промежутка (4; 6]
переносом вдоль по числовой прямой влево на 4 единицы (один период). Значит, на промежутке (0;2] 2 корня.
Здесь я покажу как надо решить экономными, чем в курсе школьной математики, методами тестовые задания ЕГЭ типа В. При этом мои решения нацелены в первую очередь на получение быстрого, но в тоже время и правильного ответа.
Пример 1. Найдите количество целочисленных решений неравенства 3 - 2х - х2 ≥ 0, удовлетворяющих условию 1 + ctg2(πx/2) > 0.
