Главная | Регистрация | Вход | RSSВторник, 21.08.2018, 07:29

Сдай ЕГЭ и ЕНТ по математике на отлично!

Меню сайта
Категории раздела
Статьи о решении тестовых заданий [11]
Здесь рассказывается об особых, специализированных приемах решения тестовых заданий ЕГЭ и ЕНТ по математике. Эти приемы позволяют абитурентам без проблем сдавать ЕГЭ и ЕНТ.
Online тесты ЕНТ [4]
Здесь Вы можете пройти onlne тестирование и подготовиться к экзаменам ЕНТ (Казахстан)
Тесты. Теория [6]
В этой рубрике содержится история и теория создания тестовых заданий
Интернет для подготовки к ЕГЭ и ЕНТ [1]
Здесь можно прочитать о том, как найти тесты ЕГЭ в Интернете, как оформить бланки ответов и т. п. технические моменты.
Уроки решения тестов ЕГЭ и ЕНТ [35]
Этот раздел посвящен урокам решениям тестовых заданий ЕГЭ и ЕНТ. Эти материалы помогут подготовиться учащимся к успешной сдаче выпускных экзаменов, а учителям послужат полезным дидактическим материалом.
Книги для подготовки к ЕГЭ и ЕНТ [1]
Здесь выложены адреса для скачивания книг для подготовки к ЕГЭ и ЕНТ по математике
Наш опрос
Система ЕНТ дает объективную оценку уровня знаний учащихся?
Всего ответов: 348
Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
Рейтинг сайта
Счетчик тИЦ и PR
Ваш IP
Узнай свой IP адрес

Каталог статей

Главная » Статьи » Материалы прошлых лет » Статьи о решении тестовых заданий

Как нужно решать тестовые задания ЕГЭ типа С?
Как нужно решать тестовые задания ЕГЭ типа С?

Задания ЕГЭ типа С - самые трудные. Как показывает педагогическая практика, далеко не все учащиеся справляются успешно с такими заданиями. Однако за каждое правильно решенное такого задание типа  абитуриент может получить максимальное количество баллов и тем самым улучшить свой рейтинг.

Пример 1. Найдите наибольшее значение параметра а, при котором уравнение х3 + 8х2 + (а + 13)х + 2а + 2 = 0 имеет три различных действительных корня.

Решение. При решении таких уравнений применяется прием основанный на уединение параметра. Суть его состоит в том, что в левой части уравнение оставляют слагаемые, которые не содержат параметра, а в правую часть переносят все слагаемые зависящие от параметра. Я попытаюсь это сделать, а затем намереваюсь решить полученное уравнение графически.

х3 + 8х2 + 13х + 2 = -ах - 2а, х3 + 8х2 + 13х + 2 = -а(х + 2).

При решении сложных задач на каждом этапе приходится анализировать, выяснять что сделано и что делать далее. Вот и здесь. Я планировал далее решать уравнение графически. Но я воздержусь от реализации этой идеи. Причиной тому, то что в правой части уравнения есть множитель х + 2. Поэтому возникает желание разложить левую часть уравнения на множители. При этом я ожидаю, что один из множителей будет равен х + 2. Посмотрим!

При разложении многочлена х3 + 8х2 + 13х + 2 на множители я хочу получить результат вида (х + 2)f(x), где f(x) некоторый квадратный трёхчлен. Те, кто умеют делить многочлены друг на друга столбиком, могут это сделать самостоятельно. Я же применю другой прием. х3 + 8х2 + 13х + 2 = (х3 + 2х2) + (6х2 + 12х) + (х + 2) = х2(х + 2) + 12(х + 2) + (х + 2) = (х + 2)(х2 + 6х + 1).

Теперь наше уравнение имеет следующий вид (х + 2)(х2 + 6х + 1) = -а(х + 2) или (х + 2)(х2 + 6х + 1 + а) = 0. Оно равносильно совокупности двух уравнений: х = -2 и х2 + 6х + 1 + а = 0. Чтобы исходное уравнение имело три корня необходимо и достаточно чтобы уравнение х2 + 6х + 1 + а = 0 имело ровно два различных корня. Это возможно тогда и только тогда, когда его дискриминант строго больше нуля.

D = 9 - 1 - а = 8 - а > 0, а < 8. Наименьшее целое число удовлетворяющее этому уравнению а = 7.

Казалось бы все сделано, правильный ответ равен 7.

Здесь я опять вернусь к мысли о том, что на каждом этапе решения задачи нужно смотреть, что мы сделали. Мы показали, что при а = 7 уравнение х2 + 6х + 1 + а = 0 имеет два корня. Но означает ли это, что при а = 7 уравнение х3 + 8х2 + (а + 13)х + 2а + 2 = 0 имеет три различных действительных корня? Это возможно только тогда, когда ни один из корней квадратного уравнения х2 + 6х + 1 + а = 0 при а = 7 не равен -2. Так ли это? Проверим.

При а = 7 уравнение х2 + 6х + 1 + а = 0 принимает вид х2 + 6х + 8 = 0. Нетрудно решить последнее уравнение и получить его корни -2 и -4. Значит, число а = 7 не является ответом нашей задачи.

Следующим целым числом, удовлетворяющим условию задачи является число а = 6. Теперь, наученные горьким опытом предыдущего этапа мы должны будем осуществить проверку. Действительно, при а = 6 из уравнения х2 + 6х + 1 + а = 0 получаем х2 + 6х + 7 = 0. Нетрудно убедиться в том, что корни этого уравнения отличны от -2. Вот и все.

Ответ: 6.

Пример 2. Найдите число решений системы уравнений {(xy)1,5 + 1 = xy0,5 + yx0,5 и y2 + 100 = 10y(2x + 2-x).

Решение. Перенесем все слагаемые из правой части уравнения в левую часть(xy)1,5 + 1 - xy0,5 - yx0,5 = 0. Разложим левую часть уравнения на множители, группировав слагаемые следующим образом:
((xy)1,5 - xy0,5) - (yx0,5 - 1) = 0;
xy0,5(yx0,5 - 1) - (yx0,5 - 1) = 0;
(yx0,5 - 1)(xy0,5 - 1) = 0;
yx0,5 - 1 = 0 или xy0,5 - 1 = 0;
yx0,5 = 1 или xy0,5 = 1; xy2 = 1 или yx2 = 1, при условии, что х и у - неотрицательны.

Теперь займёмся вторым уравнением данной системы. Оно сводится к квадратному относительно переменной у. y2 - 10y(2x + 2-x) + 100 = 0. D = 25(2x + 2-x)2 - 100 = 25(22x + 2 + 2-2x - 4) = 25(22x - 2 + 2-2x) = (2x - 2-x)2.
у = 5(2x + 2-x) ± 5((2x + 2-x);
y = 10⋅2x или y = 10⋅2-x.

Данная система уравнений свелась к решению четырех, более простых систем: {xy2 = 1 и y = 10⋅2x} или {xy2 = 1 и y = 10⋅2-x} или {yx2 = 1 и y = 10⋅2x} или {yx2 = 1 и y = 10⋅2-x}.
Нам не нужны точные решения этих систем, а нужно только определить их общее количество. Такая задача называется качественной.

Рассмотрим первую систему уравнений {xy2 = 1 и y = 10⋅2x}. Подставим значение у из второго уравнения в первое уравнение. 100х⋅х22x = 1 или 100х⋅22x - 1 = 0.

Существует два метода определения количества решений уравнения: аналитический и графический. Мы будем использовать тот или иной способ в зависимости от конкретной ситуации. Левая часть уравнения 100х⋅22x - 1 = 0 является возрастающей функцией f(x) = 100х⋅22x - 1 при х > 0. Значит, это уравнение либо не имеет корней, либо имеет один единственный корень.

Очевидно, что при х = 0 f(x) < 0, а при х = 1 f(x) > 0. Значит, на промежутке (0,000001; 1) уравнение имеет корень, и, он единственный. Итак, мы установили, что первая система имеет единственное решение.

Рассмотрим теперь вторую систему уравнений {xy2 = 1 и y = 10⋅2-x}. Точно также, подставив значение у из второго уравнения в первое уравнение получим 100х⋅2-2x = 1 или 100х⋅2-2x - 1 = 0. Здесь применение передыдущего способа проблематично. Попытаемся применить графический метод. построить график функции f(х) = 100х⋅2-2x - 1, наверное можно, но трудно и долго. Поэтому постараемся преобразовать уравнение 100х⋅2-2x - 1 = 0 так, чтобы нужные графики можно было построить легко и быстро. 100х⋅2-2x = 1, 100х = 22x. Попытаемся построить графики функций у = 100х и у = 22x. Получим примерно такую картинку . Из полученной картинки трудно быстро установить одна или две общие точки у этих кривых. Нужны дополнительные исследования, а времени для этого на экзамене крайне мало.

Выход из возникшей ситуации таков: ещё раз преобразуем уравнение 100х = 22x (х > 0), например, так 10√х = 2x. Построим графики функций у = 10√х и у = 2x. Получим следующую картинку. Даже эскизный рисунок по точкам показывает, что эти графики имеют две общие точки.

Итак, вторая система уравнений имеет два решения.

Исследуем третью систему уравнений {yx2 = 1 и y = 10⋅2x}. Как и раньше, подствив значение у из второго уравнения получим 10x2⋅2x = 1. Как и в первом случае это уравнение имеет единственное решение (убедитесь в этом самостоятельно).

И, наконец, рассмотрим последнюю систему уравнений {yx2 = 1 и y = 10⋅2-x}, из который следует, что 10x2⋅2-x = 1, или 10x2 = 2x. Графики функций у = 10x2 и у = 2x изображены на третьем рисунке. Как видно, это уравнение имеет один корень (отрицательный корень нам не подходит, так как х > 0).

Таким образом, данная в исходном задании система уравнений имеет 1 + 2 + 1 +1 = 5 решений.

Ответ: 5.

Интересные статьи по теме
Категория: Статьи о решении тестовых заданий | Добавил: egeent (02.11.2008)
Просмотров: 10749 | Комментарии: 2 | Рейтинг: 4.0/11
Всего комментариев: 2
2  
т.е. Парашу))))

1  
х3 + 8х2 + 13х + 2 = (х3 + 2х2) + (6х2 + 12х) + (х + 2) = >>>>х2(х + 2) + 12(х + 2) + (х + 2)<<<< - обломчик выходит дружище, если я так режу Порашу получу))))Исправь...

Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Вход на сайт
Поиск
Мои инструменты

Общие
1. Арифметический калькулятор
2. Инженерный калькулятор
3. Построение графиков

Арифметические
1. НОД и НОК двух чисел

Алгебраические
1. Разложение многочлена или числа на множители
2. Возведение многочлена в степень
3. Решение уравнения f(x)=0

Анализ
1. Область определения и множество значений функции
2. Экстремумы функции на отрезке
3. Уравнение касательной
4. Вычислить первообразную
5. Вычислить интеграл

Метод координат
1. Уравнение прямой по двум точкам
2. Уравнение плоскости по  трем точкам, не лежащим на одной прямой
3. Симметрия точки относительно плоскости

Мой видеоблок
Рассылка
Сдай ЕГЭ и ЕНТ по математике на пять!
Рассылка 'Сдай ЕГЭ и ЕНТ по математике на пять!'
Подписаться

Мой блок
Мой блог
Обмен банерами
Если вы хотите обменяться с нами баннерами, пишите мне.

Наша кнопка


Получить код:


Copyright MyCorp © 2018