Здесь рассказывается об особых, специализированных приемах решения тестовых заданий ЕГЭ и ЕНТ по математике. Эти приемы позволяют абитурентам без проблем сдавать ЕГЭ и ЕНТ.
Этот раздел посвящен урокам решениям тестовых заданий ЕГЭ и ЕНТ. Эти материалы помогут подготовиться учащимся к успешной сдаче выпускных экзаменов, а учителям послужат полезным дидактическим материалом.
Задания ЕГЭ типа С - самые трудные. Как показывает педагогическая практика, далеко не все учащиеся справляются успешно с такими заданиями. Однако за каждое правильно решенное такого задание типа абитуриент может получить максимальное количество баллов и тем самым улучшить свой рейтинг.
Пример 1. Найдите наибольшее значение параметра а, при котором уравнение
х3 + 8х2 + (а + 13)х + 2а + 2 = 0 имеет три различных действительных корня.
Решение. При решении таких уравнений применяется прием основанный на уединение параметра. Суть его
состоит в том, что в левой части уравнение оставляют слагаемые, которые не содержат параметра, а в
правую часть переносят все слагаемые зависящие от параметра. Я попытаюсь это сделать, а затем намереваюсь
решить полученное уравнение графически.
При решении сложных задач на каждом этапе приходится анализировать,
выяснять что сделано и что делать далее.
Вот и здесь. Я планировал далее решать уравнение графически. Но я
воздержусь от реализации этой идеи. Причиной тому, то что в правой
части уравнения
есть множитель х + 2. Поэтому возникает желание разложить левую часть
уравнения на множители. При этом я ожидаю, что один из
множителей будет равен х + 2. Посмотрим!
При разложении многочлена х3 + 8х2 + 13х + 2 на множители я хочу получить результат вида (х + 2)f(x), где f(x) некоторый квадратный трёхчлен.
Те, кто умеют делить многочлены друг на друга столбиком, могут это сделать самостоятельно.
Я же применю другой прием. х3 + 8х2 + 13х + 2 = (х3 + 2х2) + (6х2 + 12х) + (х + 2) =
х2(х + 2) + 12(х + 2) + (х + 2) = (х + 2)(х2 + 6х + 1).
Теперь наше уравнение имеет следующий вид (х + 2)(х2 + 6х + 1) = -а(х + 2) или (х + 2)(х2 + 6х + 1 + а) = 0. Оно равносильно совокупности двух
уравнений: х = -2 и х2 + 6х + 1 + а = 0. Чтобы исходное уравнение имело три корня необходимо и достаточно чтобы уравнение х2 + 6х + 1 + а = 0
имело ровно два различных корня. Это возможно тогда и только тогда, когда его дискриминант строго больше нуля.
D = 9 - 1 - а = 8 - а > 0, а < 8. Наименьшее целое число удовлетворяющее этому уравнению а = 7.
Казалось бы все сделано, правильный ответ равен 7.
Здесь я опять вернусь к мысли о том, что на каждом этапе решения задачи нужно смотреть, что мы сделали.
Мы показали, что при а = 7 уравнение х2 + 6х + 1 + а = 0 имеет два корня. Но означает ли это, что при а = 7 уравнение
х3 + 8х2 + (а + 13)х + 2а + 2 = 0 имеет три различных действительных корня?
Это возможно только тогда, когда ни один из корней квадратного уравнения х2 + 6х + 1 + а = 0 при а = 7 не равен -2.
Так ли это? Проверим.
При а = 7 уравнение х2 + 6х + 1 + а = 0 принимает вид х2 + 6х + 8 = 0. Нетрудно решить последнее уравнение
и получить его корни -2 и -4. Значит, число а = 7 не является ответом нашей задачи.
Следующим целым числом, удовлетворяющим условию задачи является число а
= 6. Теперь, наученные горьким опытом предыдущего этапа мы должны будем
осуществить проверку. Действительно,
при а = 6 из уравнения х2 + 6х + 1 + а = 0 получаем х2 + 6х + 7 = 0. Нетрудно убедиться в том, что корни этого уравнения отличны от -2.
Вот и все.
Ответ: 6.
Пример 2. Найдите число решений системы уравнений {(xy)1,5 + 1 = xy0,5 + yx0,5 и y2 + 100 = 10y(2x + 2-x).
Решение. Перенесем все слагаемые из правой части уравнения в левую часть(xy)1,5 + 1 - xy0,5 - yx0,5 = 0.
Разложим левую часть уравнения на множители, группировав слагаемые следующим образом: ((xy)1,5 - xy0,5) - (yx0,5 - 1) = 0; xy0,5(yx0,5 - 1) - (yx0,5 - 1) = 0; (yx0,5 - 1)(xy0,5 - 1) = 0; yx0,5 - 1 = 0 или xy0,5 - 1 = 0; yx0,5 = 1 или xy0,5 = 1;
xy2 = 1 или yx2 = 1, при условии, что х и у - неотрицательны.
Теперь займёмся вторым уравнением данной системы. Оно сводится к квадратному относительно переменной у.
y2 - 10y(2x + 2-x) + 100 = 0. D = 25(2x + 2-x)2 - 100 =
25(22x + 2 + 2-2x - 4) = 25(22x - 2 + 2-2x) = (2x - 2-x)2. у = 5(2x + 2-x) ± 5((2x + 2-x); y = 10⋅2x или y = 10⋅2-x.
Данная система уравнений свелась к решению четырех, более простых систем: {xy2 = 1 и y = 10⋅2x}
или {xy2 = 1 и y = 10⋅2-x} или {yx2 = 1 и y = 10⋅2x} или {yx2 = 1 и y = 10⋅2-x}. Нам не нужны точные решения этих систем, а нужно только определить их общее количество. Такая задача называется качественной.
Рассмотрим первую систему уравнений {xy2 = 1 и y = 10⋅2x}. Подставим значение у из второго уравнения в первое уравнение. 100х⋅х22x = 1 или 100х⋅22x - 1 = 0.
Существует два метода определения количества решений уравнения:
аналитический и графический. Мы будем использовать тот или иной способ
в зависимости от конкретной ситуации. Левая часть уравнения 100х⋅22x - 1 = 0 является возрастающей функцией f(x) = 100х⋅22x - 1 при х > 0. Значит, это уравнение либо не имеет корней, либо имеет один единственный корень.
Очевидно, что при х = 0 f(x) < 0, а при х = 1 f(x) > 0. Значит,
на промежутке (0,000001; 1) уравнение имеет корень, и, он единственный.
Итак, мы установили, что первая система имеет единственное решение.
Рассмотрим теперь вторую систему уравнений {xy2 = 1 и y = 10⋅2-x}. Точно также, подставив значение у из второго уравнения в первое уравнение получим 100х⋅2-2x = 1 или 100х⋅2-2x
- 1 = 0. Здесь применение передыдущего способа проблематично.
Попытаемся применить графический метод. построить график функции f(х) =
100х⋅2-2x - 1, наверное можно, но трудно и долго. Поэтому постараемся преобразовать уравнение 100х⋅2-2x - 1 = 0 так, чтобы нужные графики можно было построить легко и быстро. 100х⋅2-2x = 1, 100х = 22x. Попытаемся построить графики функций у = 100х и у = 22x.
Получим примерно такую картинку . Из полученной картинки трудно быстро
установить одна или две общие точки у этих кривых. Нужны дополнительные
исследования, а времени для этого на экзамене крайне мало.
Выход из возникшей ситуации таков: ещё раз преобразуем уравнение 100х = 22x (х > 0), например, так 10√х = 2x. Построим графики функций у = 10√х и у = 2x. Получим следующую картинку. Даже эскизный рисунок по точкам показывает, что эти графики имеют две общие точки.
Итак, вторая система уравнений имеет два решения.
Исследуем третью систему уравнений {yx2 = 1 и y = 10⋅2x}. Как и раньше, подствив значение у из второго уравнения получим 10x2⋅2x = 1. Как и в первом случае это уравнение имеет единственное решение (убедитесь в этом самостоятельно).
И, наконец, рассмотрим последнюю систему уравнений {yx2 = 1 и y = 10⋅2-x}, из который следует, что 10x2⋅2-x = 1, или 10x2 = 2x. Графики функций у = 10x2 и у = 2x
изображены на третьем рисунке. Как видно, это уравнение имеет один
корень (отрицательный корень нам не подходит, так как х > 0).
Таким образом, данная в исходном задании система уравнений имеет 1 + 2 + 1 +1 = 5 решений.
Задания ЕГЭ типа С - самые трудные. Как показывает педагогическая практика, далеко не все учащиеся справляются успешно с такими заданиями. Однако за каждое правильно решенное такого задание типа абитуриент может получить максимальное количество баллов и тем самым улучшить свой рейтинг.
Пример 1. Найдите наибольшее значение параметра а, при котором уравнение
х3 + 8х2 + (а + 13)х + 2а + 2 = 0 имеет три различных действительных корня.
Рассмотрим теперь вторую систему уравнений {xy2 = 1 и y = 10⋅2-x}. Точно также, подставив значение у из второго уравнения в первое уравнение получим 100х⋅2-2x = 1 или 100х⋅2-2x
- 1 = 0. Здесь применение передыдущего способа проблематично.
Попытаемся применить графический метод. построить график функции f(х) =
100х⋅2-2x - 1, наверное можно, но трудно и долго. Поэтому постараемся преобразовать уравнение 100х⋅2-2x - 1 = 0 так, чтобы нужные графики можно было построить легко и быстро. 100х⋅2-2x = 1, 100х = 22x. Попытаемся построить графики функций у = 100х и у = 22x.
Получим примерно такую картинку . Из полученной картинки трудно быстро
установить одна или две общие точки у этих кривых. Нужны дополнительные
исследования, а времени для этого на экзамене крайне мало.
Выход из возникшей ситуации таков: ещё раз преобразуем уравнение 100х = 22x (х > 0), например, так 10√х = 2x. Построим графики функций у = 10√х и у = 2x. Получим следующую картинку. Даже эскизный рисунок по точкам показывает, что эти графики имеют две общие точки.
И, наконец, рассмотрим последнюю систему уравнений {yx2 = 1 и y = 10⋅2-x}, из который следует, что 10x2⋅2-x = 1, или 10x2 = 2x. Графики функций у = 10x2 и у = 2x
изображены на третьем рисунке. Как видно, это уравнение имеет один
корень (отрицательный корень нам не подходит, так как х > 0).
