Здесь рассказывается об особых, специализированных приемах решения тестовых заданий ЕГЭ и ЕНТ по математике. Эти приемы позволяют абитурентам без проблем сдавать ЕГЭ и ЕНТ.
Этот раздел посвящен урокам решениям тестовых заданий ЕГЭ и ЕНТ. Эти материалы помогут подготовиться учащимся к успешной сдаче выпускных экзаменов, а учителям послужат полезным дидактическим материалом.
Задания ЕГЭ типа С - самые трудные. Как показывает практика, не все
учащиеся справляются с такими заданиями. Однако за каждое правильно
решенное задание типа С можно получить максимальное количество баллов. На этом уроке будут разобраны решения таких тестовых заданий. Пример 1. Найдите наибольшее значение параметра а, при котором уравнение
х3 + 8х2 + (а + 13)х + 2а + 2 = 0 имеет три различных действительных корня.
Решение. При решении таких уравнений применяется прием основанный на уединение параметра. Суть его
состоит в том, что в левой части уравнение оставляют слагаемые, которые не содержат параметра, а в
правую часть переносят все слагаемые зависящие от параметра. Я попытаюсь это сделать, а затем намереваюсь
решить полученное уравнение графически.
При решении сложных задач на каждом этапе приходится анализировать,
выяснять что сделано и что делать далее.
Вот и здесь. Я планировал далее решать уравнение графически. Но я
воздержусь от реализации этой идеи. Причиной тому, то что в правой
части уравнения
есть множитель х + 2. Поэтому возникает желание разложить левую часть
уравнения на множители. При этом я ожидаю, что один из
множителей будет равен х + 2. Посмотрим!
При разложении многочлена х3 + 8х2 + 13х + 2 на множители я хочу получить результат вида (х + 2)f(x), где f(x) некоторый квадратный трехчлен.
Те, кто умеют делить многочлены друг на друга столбиком, могут это сделать самостоятельно.
Я же применю другой прием. х3 + 8х2 + 13х + 2 = (х3 + 2х2) + (6х2 + 12х) + (х + 2) =
х2(х + 2) + 12(х + 2) + (х + 2) = (х + 2)(х2 + 6х + 1).
Теперь наше уравнение имеет следующий вид (х + 2)(х2 + 6х + 1) = -а(х + 2) или (х + 2)(х2 + 6х + 1 + а) = 0. Оно равносильно совокупности двух
уравнений: х = -2 и х2 + 6х + 1 + а = 0. Чтобы исходное уравнение имело три корня необходимо и достаточно чтобы уравнение х2 + 6х + 1 + а = 0
имело ровно два различных корня. Это возможно тогда и только тогда, когда его дискриминант строго больше нуля.
D = 9 - 1 - а = 8 - а > 0, а < 8. Наименьшее целое число удовлетворяющее этому уравнению а = 7.
Казалось бы все сделано, правильный ответ равен 7.
Здесь я опять вернусь к мысли о том, что на каждом этапе решения задачи нужно смотреть, что мы сделали.
Мы показали, что при а = 7 уравнение х2 + 6х + 1 + а = 0 имеет два корня. Но означает ли это, что при а = 7 уравнение
х3 + 8х2 + (а + 13)х + 2а + 2 = 0 имеет три различных действительных корня?
Это возможно только тогла, когда ни один из корней квадратного уравнения х2 + 6х + 1 + а = 0 при а = 7 не равен -2.
Так ли это? Проверим.
При а = 7 уравнение х2 + 6х + 1 + а = 0 принимает вид х2 + 6х + 8 = 0. Нетрудно решить последнее уравнение
и получить его корни -2 и -4. Значит, число а = 7 не является ответом нашей задачи.
Следующим целым числом, удовлетворяющим условию задачи является число а
= 6. Теперь, наученные горьким опытом предыдущего этапа мы должны будем
осуществить проверку. Действительно,
при а = 6 из уравнения х2 + 6х + 1 + а = 0 получаем х2 + 6х + 7 = 0. Нетрудно убедиться в том, что корни этого уравнения отличны от -2.
Вот и все.
Ответ: 6.
Пример 2. Найдите число решений систему уравнений {(xy)1,5 + 1 = xy0,5 + yx0,5 и y2 + 100 = 10y(2x + 2-x).
Решение. Перенесем все слагаемые из правой части уравнения в левую часть(xy)1,5 + 1 - xy0,5 - yx0,5 = 0.
Разложим левую часть уравнения на множители, группировав слагаемые следующим образом: ((xy)1,5 - xy0,5) - (yx0,5 - 1) = 0; xy0,5(yx0,5 - 1) - (yx0,5 - 1) = 0; (yx0,5 - 1)(xy0,5 - 1) = 0; yx0,5 - 1 = 0 или xy0,5 - 1 = 0; yx0,5 = 1 или xy0,5 = 1;
xy2 = 1 или yx2 = 1, при условии, что х и у - неотрицательны.
Теперь займемся вторым уравненим данной системы. Оно сводится к кватратному относительно переменной у.
y2 - 10y(2x + 2-x) + 100 = 0. D = 25(2x + 2-x)2 - 100 =
25(22x + 2 + 2-2x - 4) = 25(22x - 2 + 2-2x) = (2x - 2-x)2. у = 5(2x + 2-x) ± 5((2x + 2-x); y = 10⋅2x или y = 10⋅2-x.
Данная система уравнений свелась к решению четырех, более простых систем: {xy2 = 1 и y = 10⋅2x}
или {xy2 = 1 и y = 10⋅2-x} или {yx2 = 1 и y = 10⋅2x} или {yx2 = 1 и y = 10⋅2-x}. Нам не нужны точные решения этих систем, а нужно только определить их общее количество. Такая задача называется качественной.
Рассмотрим первую систему уравнений {xy2 = 1 и y = 10⋅2x}. Подставим значение у из второго уравнения в первое уравнение. 100х⋅х22x = 1 или 100х⋅22x - 1 = 0.
Существует два метода определения количества решений уравнения:
аналитический и графический. Мы будем использовать тот или иной способ
в зависимости от конкретной ситуации. Левая часть уравнения 100х⋅22x - 1 = 0 является возрастающей функцией f(x) = 100х⋅22x - 1 при х > 0. Значит, это уравнение либо не имеет корней, либо имеет один единственный корень.
Очевидно, что при х = 0,000001 f(x) < 0, а при х = 1 f(x) > 0.
Значит, на промежутке (0,000001; 1) уравнение имеет корень, и, он
единственный. Итак, мы установили, что первая система имеет
единственное решение.
Рассмотрим теперь вторую систему уравнений {xy2 = 1 и y = 10⋅2-x}. Точно также, подставив значение у из второго уравнения в первое уравнение получим 100х⋅2-2x = 1 или 100х⋅2-2x
- 1 = 0. Здесь применение передыдущего способа проблематично.Попытаемся
применить графический метод. Построить график функции f(х) = 100х⋅2-2x - 1, наверное можно, но трудно и долго. Поэтому постараемся преобразовать уравнение 100х⋅2-2x - 1 = 0 так, чтобы нужные графики можно было построить легко и быстро. 100х⋅2-2x = 1, 100х = 22x. Попытаемся построить графики функций у = 100х и у = 22x.
Получим примерно такую картинку. Из полученной картинки трудно быстро
установить одна или две общие точки у этих кривых. Нужны дополнительные
исследования, а времени для этого на экзамене крайне мало. Окончание
решения этого тестового задания можно прочитать здесь
Задания для самостоятельного решения
Пример 1. Найдите число целых значний параметра а, при которых множество решений неравенства
(а - 1)х2
≤ (3а + 2)х + 10а содержит все члены некоторой возрастающей
арифметической прогресси с первым членом, равным -8, и разностью,
меньшей или равной 6.
Пример 2. Найдите число решений системы {π2y2 + 12x2 = 8πxy и y2 = y(cos2x - sinx) + sinxcos2x}.
В прошлом году при подготовке к белорусскому тестированию нам с сыном пришлось решать такое задание: найдите значение выражения n*S, где n – количество, а S – сумма корней уравнения (как записывать формулы? из Worda не вставляются) x^2+6*x-9-2*((x^2+6*x)^0.5)+4*((x^2+6*x)^0.25)=6*(2*(x^2+6x)^0.25-1) Пришлось помучиться. Убили целый день. Потом сын предложил так: 1. ОДЗ найдем из условия x^2+6*x>=0, следовательно x<=-6 и x>=0 2. График левой части имеет вид \ / (как вставить картинку???) 3. График правой части имеет вид / \ 4. Оба графика симметричны относительно середины ОДЗ, т.е. относительно -3 5. Следовательно количество корней n=2 6. А сумма корней S=-3 7. Ответ: n*S=-6. Ответ правильный (проверяли по всем вариантам)! Но очень хотелось бы знать строгое решение.
Уроки решения тестов ЕГЭ и ЕНТ. Урок 31
Пример 1. Найдите наибольшее значение параметра а, при котором уравнение
х3 + 8х2 + (а + 13)х + 2а + 2 = 0 имеет три различных действительных корня.
