Тестовые задания
с одним, двумя и тремя
правильными ответами

Тестовые задания с одним, двумя и тремя правильными ответами

В Казахстане предлагается введение нового вида тестовых заданий. Это задания с одним, двумя и тремя правильными ответами.

В «Учебно-методическом пособии по математике. /Астана: РГПК „Национальный центр стандартов образования и тестирования“, 2008 есть глава посвящённая тестовым заданиям с одним, двумя и тремя правильными ответами с восемью ответами для выбора не более трех правильных среди них.

Инициаторы этого новшества считают что их детище позволит наиболее глубже и точнее определить уровень знаний тестируемого, а также будет резко ограничена возможность угадывания ответов (лично я уверен в противоположном).

Если выпускник находит все правильные ответы то получает 2 балла, один неправильный ответ — отнимается 1 балл, еще один неправильный ответ отнимается еше 1 балл. Таким образом, баллы 2, 1,0.

В нашем тренажёре оценка успехов тестируемого осуществляется проще. Если ученик нашел все правильные ответы, то ему начисляется один балл. В противном случае он получает нуль баллов.

Вариант 2

1. Укажите числа, являющиеся делителями значения выражения:

3             167             71             252             334             4              129             7

Показать/Скрыть решение задания 1

Решение задания 1. = (40 + 4)8 – (15 + 3) = 352 – 18 = 334. Из предложенных ответов делителями числа 334 будут числа 3 и 167, которые и будут ответами в данному заданию.

---

2. Если sinα = , то значение ctgα может бытъ:

             3,5                           -2,5
             -              3,4             -2,4

Показать/Скрыть решение задания 2

Решение задания 2. Если sinα = 5/13, то cos²α = 1 - sin²α = 1 - 25/169 = 144/169. cosα = ±12/13. Поэтому ctgα = cocα : sinα = ±12/13 : 5/13 = ±12 : 5 = ±12/5. Значит, два правильных ответа 12/5 и -2,4.

---

3. Найдите промежуток, содержащий в себе сумму корней уравнения

(-∞; -1)             (-∞; -3]             [5; +∞)            [-7; +∞)
[1; 12)               [3; +∞)             (-5; 7]               (-1,3; 8)

Показать/Скрыть решение задания 3

Решение задания 3. Практика показывает, что решениями подобных уравнений на ЕНТ являются целые числа. поэтому буду подбирать корни этого уравнения.
Сначала проверим числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, ... . Подстановка этих чисел в данное уравнение показывает, что 4 и только 4 является корнем данного уравнения.
Теперь проверим числа -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, ... . Среди них найдем единственный корень -6.
4 - 6 = -2. Правильные ответы: (-∞; -1), [-7; +∞), (-5; 7].

---

4. Для уравнения 2^x = 256 укажите ему равносильное

log₂x = 3             x² - 9x + 8 = 0             3^x = 27                     5x - 40 = 0
16/x = 2              5^x = 625                      3x² - 24x = 0            (11; +∞)

Показать/Скрыть решение задания 4

Решение задания 4. Корнем данного уравнения будет х = 8.
Поэтому среди ответов надо найти те уравнения, корнями которых будет число 8 и только это число. Таким уравнениями будут log₂x = 3, 5x - 40 = 0, 16/x = 2.

---

5. Найдите корни уравнения cos²x - 3cosxsinx + 1 = 0, расположенные на промежутке (30^o; 45^o)

40^o             45^o              π/6             2π/9
36^o             30^o              35^o            π/4

Показать/Скрыть решение задания 5

Решение задания 5. Будем поочередно подставлять в уравнение корни, приведенные в ответах. Данному уравнению будут удовлетворять только значения 45^о и π/4.

---

Абитуриенту на заметку

• Рассылка "Математика. Подготовка к ЕГЭ и ЕНТ"
• Рассылка "Сдай ЕГЭ и ЕНТ по математике на отлично!"

---

6. Произведение корней уравнения принадлежит промежутку:

(-7; -5]             (-∞; -4]             (-∞; 0]             (-8; -2]
[6; +∞)             (-∞; -3)             ([-7; 2)            (-2; +∞)

Показать/Скрыть решение задания 6

Решение задания 6. Так как 0 не является корнем данного уравнения, то решениями могут дыть только числа типа а и -а или таких решений вовсе нет. Здесь также "дешевле" подобрать один корень, он равен 1. Тогда второй корень автоматически равен -1.

Я утверждаю, что других решений у этого тестового задания нет. Действительно, если бы было еще хотя бы одно решение, например, b (оно не равно 0), то будет и другое решение -b. Значит, решений наберется уже четыре. Однако в заглавие авторы сказали, что это тесты только с одним, двумя и тремя ответами.

Число -1 ⋅ 1 = -1 входят в промежутки (-∞; 0], ([-7; 2) и (-2; +∞).

---

7. Если x > y, то верным будет неравенство:

x - 2 < y - 2             -3x > -3y             x/4 < y/4             x + 3,7 < y + 3,73
-x/5 < -y/5               y < x                     -8x < -8y           7y > 7x

Показать/Скрыть решение задания 7

Решение задания 7. Применяя известные свойства неравенств получаем, что правильными ответами будут: -x/5 < -y/5, y < x и -8x < -8y.

---

8. Наибольшим целым решением неравенства |13 - 2x| ≥ |4х - 9| является:

-2             5             7             0
3               12           -1            4

Показать/Скрыть решение задания 8

Решение задания 8. Можно просто решить данное неравенство. Однако лучше подставлять в данное неравенство числа 12, 7, 5, 4, 3, 0, -2. Первым из этих чисел, удовлетворяющим этому неравенству будет число 3 - правильный ответ.

---

Абитуриенту на заметку

• Online тренажер казахстанского теста ЕНТ
• Еще один online тренажер казахстанского теста ЕНТ

---

9. Скорость мотоцикла на 40 км/ч больше скорости велосипедиста, поэтому на путь 30 км мотоциклист затратил на 1 час меньше, чем велосипедист, тогда время, которое, затратит на этот путь велосипедист, будет:

1,5 ч             65 мин              1 2/3 ч             2 ч
2,5 ч             50 мин              90 мин           3 ч

Показать/Скрыть решение задания 9

Решение задания 9. Если велосипедист проедит путь в 30 км за 1,5 ч, то мотоциклист одолеет этот же путь за 0,5 ч. Поэтому их скорости будут равны 30 : 1,5 = 20 км/x и 30 : 0,5 = 60 км/ч. Разность скоростей будут равна 60 - 20 = 40 (км/ч), что вполне соответстсвует условию задачи. Значит, правильный ответ 1,5 ч.

---

10. В арифметической прогрессии (а_n) а₁ = 8,7, d = -0,3. Для каких членов этой прогресии выполняется условие: а_n < 0:

а₃₅             а₂₇             а₁₁             а₃₀
а₃₁             а₁₈             а₁₂             а₃₉

Показать/Скрыть решение задания 10

Решение задания 10. Так как эта последовательность убывает, то а₃₉ < 0 (иначе у этой последовательности не будет отрицательных членов ). а₃₅ = 8,7 - 03 ⋅ 34 = -1,5 < 0, а₃₁ = 8,7 - 03 ⋅ 30 = -0,3 < 0. Эти три члена последовательности и будут правильными ответами. Других правильных ответов быть не может, так как каждое задание имеет не более трех правильных ответов.

---

Абитуриенту на заметку

Уроки БЫСТРОГО решения тестов ЕГЭ и ЕНТ

Для казахстанских школьников эти уроки важны, так как в России на сдачу только ОДНОГО экзамена ЕГЭ по математике дается не менее ТРЕХ часов, а в Казахстане на сдачу ЧЕТЫРЕХ предметов абитуриент имеет всего ТРИ часа.

---

11. На рисунке изображен график функции y = f(x). Какое из утверждений относительно данной функции верно:

функция возрастающая             функция четная                     множество значений [-1; 1]
функция нечетная                     функция убывающая             наибольшее значение равно 2
областьопределения функции [-2; 2]                                           наименьшее значение равно -1

Показать/Скрыть решение задания 11

Решение задания 11. Визуально видно, что правильными ответами будут: множество значений [1; 1], функция нечетная, областьопределения функции [0; 2].

---

12. Решение. Найдите f´(xo), если f(x) = , x_о = 4.

х = 102              х = -103             х = 84             х = 92
х = 105               х = -84               х = 103           х = -102

Показать/Скрыть решение задания 12

Решение задания 12. f(x) = 5x^2,5 – 64x^-1,5. f´(x) = 5⋅2,5х^0,5 – 64(-1,5)х^-2,5 = 12,5x√х + 96/(х²√х), f´(4) = 12,5⋅8 + 96/(16⋅2) = 100 + 3 = 103.

---

13. Найдите точку пересечения касательных к графику функции y = x³ - |x - 1|, проведенныйх через точки с абсциссами х = 2, х = -2.

(18; -321)             (-18; 321)              (204; 17)           (-17; 204)
(-204; 17)            (17; 204)                (18; 321)            (17; -204)

Показать/Скрыть решение задания 13

Решение задания 13. х - 1 = 0, х = 1.

Если х < 1, то y = х³ - x + 1. Если х ≥ 1, то y = х³ + x - 1.

Найдем касательную к графику данной функции в точке x = -2. y(-2) = -8 + 2 + 1 = -5, y´(x) = 3х² - 1, y´(-2) = 12 - 1 = 11. y = 11(x + 2) - 5, y = 11x + 17.

Теперь найдем касательную к графику функции в точке х = 2. y = х³ + x - 1, y(2) = 8 + 2 - 1 = 9, y´(x) = 3х² + 1, y´(2) = 12 + 1 = 13. y = 13(x - 2) + 9, y = 13x - 17.

11x + 17 = 13x - 17, 2x = 34, x = 17, y = 11⋅17 + 17 = 187 + 17 = 204. (17; 204) - искомая точка пересечения касательных.

---

14. Вычислите интеграл и укажите промежуток, содержащий его значение

(-∞; -3]               (-15; +∞)             [6; +∞)             [-2; 17]
(-∞; -17)             [0; 2)                   (-3; 9]               [-1; 8)

Показать/Скрыть решение задания 14

Решение задания 14. При х = 1 подинтегральная функция неопределена. Значит, данный интеграл смысла не имеет. К сожалению, составители этого задания не знают математику.

---

15. Укажите, какому неравенству удовлетворяет числовое значение площади фигуры, ограниченной графиками функций y = -x² + 2х + 3 и у = 3 - х.

7 ≤ S < 9             4 < S ≤ 6             5 < S < 7             5 < S < 12
2 < S ≤ 4             6 ≤ S < 11           8 < S ≤ 12           1 < S < 5

Показать/Скрыть решение задания 15

Решение задания 15. Из рисунка видно, что величина площади искомой фигуры более 4, но менее 5 единичных квадратиков, то есть она равна 4,.. . Поэтому правильными ответами будут 4 < S ≤ 6 и 1 < S < 5.

---

Абитуриенту на заметку

Cтатьи о решении тестов ЕГЭ и ЕНТ:

• Решаем альтернативно!
• ЕНТированная математика
• Как отвечать на тестовые задания по математике?
• Зри в ответ!
• ЕНТ-овые ляпы
• Решаем быстро и правильно
• Как нужно решать тестовые задания ЕГЭ типа А?
• Как нужно решать тестовые задания ЕГЭ типа В?
• Как нужно решать тестовые задания ЕГЭ типа С?

---

16. Диагональ квадрата равна m, тогда его сторона равна:

m√2             m/√3             m/2             2m/3
m/4              2m√2            m√2/2         m√3

Показать/Скрыть решение задания 16

Решение задания 16.
Применяя теорему Пифагора устанавливаем, что m² = a² + a², m² = 2a²б а² = m²/2 или а = m√2/2. Поэтому единственно правильным ответом будет m√2/2.

---

17. В треугольнике АВС внешний угол при вершине С равен 100^о. Известно, что угол А в 4 раза больше угла В, тогда этот треугольник:

прямоугольный             имеет угол 120^о             равнобедренный             имеет угол 30^о
правильный                  имеет угол 60^о               тупоугольный                  остроугольный

Показать/Скрыть решение задания 17

Решение задания 17.
Известно, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Поэтому ∠А + ∠В = 100. Пусть ∠В = х, тогда ∠А = 4х, 4х + х = 100, 5х = 100, х = 20. В треугольке АВС будут углы 80^о, 20^о и 80^о. Значит, правильными ответами будут: равнобедренный и остроугольный.

---

18. В равнобедренной трапеции диагональ делит острый угол попалам. Периметр трапеции равен 48 см, а большее основание 18 см, тогда средняя линия равна:

12 см             10 см             28 см             24 см
16 см             22 см             14 см             18 см

Показать/Скрыть решение задания 18

Решение задания 18.
Из условия задания следует, что треугольник АВС - равнобедренный. Поэтому СD = АВ = CD = (48 - 18) : 3 = 10. Так как ВC = 10, то средняя линия этой трапеции равна (18 + 10) : 2 = 14 (cм).

---

19. Высота правильной шестиугольной призмы равна 6 см, диагональ боковой грани 10 см, тогда радиус описанного шара равен:

15 см             9 см            √73 см            √91 см
8 см              √85 см         10 см               7 см

Показать/Скрыть решение задания 19

Решение задания 19.
Из условия следует, что если а - строна основания призмы, то а² = 100 - 36 = 64. Поэтому а = 8.

Понятно, что центр описанного вокруг призмы шара находится на середине отрезка, соединяющего центры оснований призмы, то есть в точке пересечения диагоналей прямоугольника АВСD и равен половине этой диагонали.

BD² = 36 + 256 = 292 = (2√73)². BD = 2√73. Радиус шара, описанного вокруг призмы равен BD/2 = √73.

---

20. В правильном тераэдре с ребром 5 см радиус описанного шара равен:

2√2/3            5√6/4            3√6/3                   12/(5√6)
3√2/7             2√3/5            15/(2√6)             3√2/2

Показать/Скрыть решение задания 20

Решение задания 20. Очевидно, что центр описанного шара находится на высоте пирамиды. Пусть К - центр описанного шара около пирамиды SABC, а SK = AK = BK = CK = R.
АМ - медиану треугольника АВС вычислим из прямоугольгного треугольника АВМ. АМ² = АВ² - ВМ² = 25 - (5/2)² = 75/4. АМ = 5√3/2. АО = АМ:3*2 = 5√3/3.
SO найдем из треугольника SAO. SO² = AS² - AO² = 25 - 25/3 = 50/3. SO = 5√6/3.
В треугольнике AKO KO = SO - SK = 5√6/3 - R. AK² = AO² + KO², R² = 25/3 + (5√6/3 - R)², R² = 25/3 + 50/3 - 10√6R/3 + R², 10√6R/3 = 25, R = (25*3)/10√6 = 5√6/4.