Задание типа С6 ЕГЭ-2012
Натуральные числа от 1 до 12 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть покрайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности полученных сумм и полученные 6 чисел складывают. а) Может ли в результате получиться 0? б) может ли в результате получиться 1? в) Какое наименьшее возможное значение полученного результата?
Решение.
Пусть A, B, C и D - суммы чисел в четырёх группах. Согласно условию нас интересует сумма:
S = |A - B| + |A - C| + |A - D| + |B - C| + |B - D| + |C - D|. (1)
Понятно, что S - целое неотрицательное число. При этом A + B + C + D - это сумма всех натуральных чисел от 1 до 12. Поэтому
A + B + C + D = 1 + 2 + ... + 12 = 78. (2)
а) Если S = 0, то |A - B| + |A - C| + |A - D| + |B - C| + |B - D| + |C - D| = 0 и A = B = C = D. Но это невозможно, так как при A = B = C = D из (2) следует, что 4А = 78б но 78 не делится на 4.
Следовательно, 0 в результате получиться не может.
б) Если, что S = 1, то только одно слагаемое в (1) равно единице, а остальные пять слагаемых равны нулю.
Пусть |A - B| = 1. Тогда из |A - C| = 0 и |B - C| = 0 получаем соответственно A = C и B = C, то есть A = B и |A - B| = 0.
Возникшее противоречие показывает, что 1 в результате получиться также не может быть.
в) Заметим, что имеется самое большее три слагаемых в (1), которые не содержат фиксированную букву (например, букву D не содержат слагаемые |A - B|, |B - C| и |A - C|).
Поэтому если взять любые четыре слагаемых в (1), то в них непременно будут фигурировать все четыре буквы A, B, C, D.
Таким образом, если четыре каких-то слагаемых в (1) равны нулю, то A = B = C = D.
Равенство A = B = C = D , как было отмечено выше, невозможно. Следовательно, никакие четыре слагаемых в (1) не могут равняться нулю. Иными словами, как минимум три слагаемых в (1) должны быть отличны от нуля. Тем самым оказывается невозможным и случай S = 2.
Предположим, что S = 3. Тогда три слагаемых в (1) равны единице, а остальные три равны нулю.
При этом нулю могут равняться лишь такие три слагаемых, которые не содержат некоторой буквы (в противном случае - когда в трех нулевых слагаемых фигурируют все четыре буквыA, B, C, D - остальные три слагаемых также обратятся в нуль).
Пусть, например, |A - B| = |A - C| = |B - C| = 0, то есть A = B = C. Тогда D = A ± 1, и 78 = A + B + C + D = 4A ± 1.
Получаем противоречие: слева стоит чётное число, а справа - нечётное. Значит, S = 3 невозможно.
Приведем теперь пример с S = 4. Группы возьмём такие: (1, 3, 4, 5, 6), (2, 7, 10), (9, 11), (8, 12).
Здесь A = 19, B = 19, C = 20, D = 20. Подставляем в (1): S = 0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 0 = 4.
Тем самым доказано, что наименьшее возможное значение S равно 4. | 
