Wolfram Alpha и решение уравнений ЕГЭ с параметрами
Как известно, решение уравнений типа f(x, a) = 0 вызывает у учащихся (да и учителей) большие трудности. Как правило, такие задания предлагаются на ЕГЭ под номером С6. Значит, они соответствуют задачам математической олимпиады областного или республиканского уровня.
Рассмотрим одно из таких заданий.
Найдите все значения а,при каждом из которых уравнение 3х + |2х + |а - х|| = 7|х + 2| имеет хотя бы один корень.
Решение. Рассмотрим функцию f(x)=7|x + 2| - 3x - |2x + |а - х||.
При x < -2 f(x) = kx + b, где k ≤ -7 - 3 + 2 + 1 = -7 < 0. Значит, при х ∈ (-∞; -2) функция f(x) убывает, а при x > -2 имеем f(x) = kx + b, где k ≥ 7 - 3 - 2 - 1 = 1 > 0. Поэтому при х ∈ (-2; +∞) функция f(x) возрастает.
Поэтому x=2 - точка точка наименьшего значения функции
f(x). Для того чтобы уравнение f(x) = 0 имело хотя бы один корень необходимо и достаточно, чтобы f(-2)
≤ 0.
f(-2) = 6 - |-4 + |а + 2||. Решаем неравенство 6 - |-4 + |а + 2|| ≤ 0.
|-4 + |а + 2|| ≥ 6.
1) -4 + |а + 2|≥ 6, |а + 2| ≥ 10, а + 2 ≥ 10 или а + 2≤ -10; а ≥ 8 или а ≤ -12. а ∈ (-∞; 12) U (8; +∞).
2) -4 + |а + 2|≤ -10, |а + 2| ≤ -6 - решений нет.
Ответ: а ∈ (-∞; 12) U (8; +∞).
Вот такое математическое решение имеет эта задача. Понятно, что такое решение доступно не для всех учащихся (смею предположить и учителей). А теперь покажем другое, доступное для всех решение этой задачи.
В системе Wolfram Alpha ( http://www.wolframalpha.com/) дадим задание "solve 3x + abs(2x+abs(a-x)) =7abs(x+2) for x" (без кавычек), где solve - решить,
3x + abs(2x+abs(a-x)) =7abs(x+2) for x - наше уравнение, записанное в системе обозначений Wolfram Alpha. Окончание задания "
for x" указывает, что надо решить уравнение относительно переменной х.
Вообще, задание решить уравнение f(x, a) = 0, где х - переменная, а а - параметр имеет вид:
solve
f(x, a) = 0 for x
При этом выражение f(x, a) = 0 следует вводить по правилам, принятым в системе Wolfram Alpha. С этими правилами можно познакомиться, например, здесь.
Теперь перейдем к решению нашего уравнения. В следующем окошке, введем текст
solve 3x + abs(2x+abs(a-x)) =7abs(x+2) for x и нажмем клавишу Enter или щелкнем по символу "=".
В результате мы получим следующий ответ.
Этот ответ необходимо правильно интерпретировать. Видно, что при а ≤ -12 и при а ≥ 8 наше уравнение имеет решения (не важно какие), а вот при -12 < a < 8 - решений нет. Значит, только при а ∈ (-∞; 12) U (8; +∞) данное уравнение имеет хотя бы один корень.
В заключение отметим, что системы типа Wolfram Alpha все больше и больше будут входить в нашу жизнь. Поэтому современной школе не стоит отстраняться от изучения с учащимися таких систем. | 
