Как известно задание по математике экзамена ЕГЭ содержит две части. Часть 1 предназначена обычным школьникам, которым надо подтвердить школьную оценку. Часть 2 предназначена тем, кто собирается поступать в вузы с хорошей математической подготовкой абитуриентов. Поэтому часть 2 задания ЕГЭ по математике содержит задачи, решения которых не изучаются в общеобразовательной школе.
В данной статье обсуждается решение задания на определение натурального числа по известному произведению его делителей. Такие задачи входят в курс теории чисел, которая изучается на младших курсах физико-математических факультетов университетов или педагогических институтов. В школе же только некоторые из этих задач рассматриваются на факультативных и кружковых занятиях.
С6. Найдите все натуральные числа, последняя десятичная цифра которых 0 и которые имеют ровно 15 различных натуральных делителей (включая единицу и само число).
Решение. Всякое натуральное число n большее единицы либо просто, либо может быть представлено, и притом единственным образом (с точностью до порядка следования сомножителей), в виде произведения простых чисел:
При этом произведение всех делителей этого числа (включая единицу и само число) вычисляется по формуле:
Так как последняя десятичная цифра данного в условии задачи числа равна 0 (то есть число делится на 10), то оно делится на 2 и на 5, то есть в число его простых делителей входит 2 и 5. А значит, n имеет вид n = 2α • 5β•Q (Q - остальная часть канонического разложения числа n). При этом α > 1 и β > 1.
Чтобы использовать формулу числа делителей число 15 надо разложить в произведение не менее двух множителей (α + 1) и (β + 1), больших 1. Однако произведение всех делителей данного числа n (15) разлагается только на два множителя больших 1: 3 и 5 (15 = 3 • 5). Поэтому Q = 1, (α + 1)•(β + 1) = 3 • 5 и n= 2α• 5β.
Возможны всего два случая:
1) α + 1 = 3, β + 1 =5, откуда α = 2, β = 4 и n=22• 54 = 2500; 2) α + 1 = 5, β + 1 = 3, откуда α = 4, β = 2 и n = 24• 52 = 400.
Как известно задание по математике экзамена ЕГЭ содержит две части. Часть 1 предназначена обычным школьникам, которым надо подтвердить школьную оценку. Часть 2 предназначена тем, кто собирается поступать в вузы с хорошей математической подготовкой абитуриентов. Поэтому часть 2 задания ЕГЭ по математике содержит задачи, решения которых не изучаются в общеобразовательной школе.
