Решение.

Правая часть уравнения при делении на 3 должна давать тот же остаток, что и левая, т. е. 1.

Поэтому k четное число (5 при делении на 3 дает остаток 2, 25 - остаток 1, 125 - остаток 2 и т. д.).

Поэтому k = 2p и 3^m + 4ⁿ = 25^p.

3^m = 25^p - 4ⁿ,

3^m = (5^p - 2ⁿ)( 5^p + 2ⁿ).

Числа 5^p - 2ⁿ и 5^p + 2ⁿ нечетные и их нечетный наибольший общий делитель является делителем их суммы 5^p - 2ⁿ + 5^p + 2ⁿ = 2 ⋅ 2ⁿ = 2^{n + 1}. Но среди делителей числа 2^{n + 1} нечетным является только 1. Значит, эти числа будут взаимно простыми.

Если 5^p - 2ⁿ ≠ 1, то произведение (5^p - 2ⁿ)(5^p + 2ⁿ) = 3^m  имеет два различных простых делителя (одно является делителем 5^p - 2ⁿ, а другое - 5^p + 2ⁿ) . Чего быть не может.

Значит, 5^p - 2ⁿ = 1.

5^p - 2ⁿ = 1.

Если n = 1, то 5^p = 3. Решений нет.

Если n = 2, то 5^p = 5, p = 1, k = 2p = 2.

Подставляя значения n и k в исходное уравнение получаем 3² + 4ⁿ = 5², 4ⁿ = 16, n = 2.

Итак, имеем одно решение m = n = k = 2.

Еще раз вернемся к уравнению 5^p - 2ⁿ = 1,

5^p = 2ⁿ + 1.

Если n ≥ 3, то 2ⁿ + 1 при делении на 8 дает остаток 1. Значит, 5^p тоже при делении на 8 дает остаток 8 и p должно быть четным числом; p = 2t, t ∈ N.

5^2t = 2ⁿ + 1,

(5^t - 1)(5^t + 1) = 2ⁿ.

5^t + 1 = 2^z и 5^t - 1 = 2^f, где z + f = n. 

Вычитая эти равенства получаем, 2 = 2^z - 2^f, где z > f.2 = 2^f(2^{z - f} - 1).

Понятно, что если f > 1 или z - f > 1, то правая часть уравнения будет больше 2. Значит, f = 1 и z - f = 1 . Тогда  z = 0, f = 1 и n = 1.

 5^2t = 3.  Решений нет. Значит, при n ≥ 3 данное уравнений решений не имеет. Остается единственное решение m = n = k = 2.

Ответ: m = n = k = 2 .