Исследование уравнения с параметром
 Задачи с параметрами, как правило, бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе этот один из наиболее трудных разделов курса элементарной математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях. Поэтому многие школьники не могут решать такие задачи.
Не зря на экзамене ЕГЭ по математике уравнения с параметрами включены только в список заданий типа C, которые предназначены только для абитуриентов поступающих в вузы, где математика является профилирующим предметом.
Среди большого числа уравнений с параметрами есть те, которые могут быть эффективно решены графическим способом. Рассмотрим этот метод на примере решения следующего тестового задания.
 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 4х - ∣3х - ∣х + а∣∣ = 9∣х - 3∣ имеет два корня.
Решение.
Как правило, такие задания удобно решать графически. Рассмотрим функцию f(x) = 4х - ∣3х - ∣х + а∣∣ - 9∣х - 3∣.
Нетрудно заметить, что для раскрытия знака модуля нужно рассмотреть два случая х < 3 и х ≥ 3.
 Если х < 3, то f(x) = 13x - 27 - ∣3х - ∣х + а∣∣.
Как бы не раскрывались знаки модуля в выражении ∣3х - ∣х + а∣∣ мы получим линейную функцию f(x) = kx + b, где k будет больше нуля.
Действительно, k = 13 ± 3 ± 1≥ 0.
Значит, график функции f(x) при х < 3 будет возрастать. Этот факт зафиксирован на рис. 1.
При этом на нашем рисунке точка А расположена выше оси абсцисс (f(3) > 0) и поэтому уравнение f(x) = 0 имеет ровно один корень на промежутке (-∞; 3).
 Если х ≥ 3, то f(x) = -5x + 27 - ∣3х - ∣х + а∣∣.
Здесь также при любом раскрытии модуля в выражении ∣3х - ∣х + а∣∣ мы получим линейную функцию f(x) = kx + b, где k = -5 ± 3 ± 1 < 0.
Значит, график функции f(x) при х ≥ 3 будет убывать.
На рис. 2 дано изображение графика функции на всей числовой прямой .
При этом на нашем рисунке точка А расположена выше оси абсцисс (f(3) > 0) и поэтому уравнение f(x) = 0 имеет ровно два корня на промежутке (-∞; +∞).
Понятно, что если точка А будет ниже оси абсцисс (f(3) < 0), то на промежутке (-∞; +∞) равнение f(x) = 0 корней не имеет, если же точка А лежит на оси абсцисс (f(3) = 0), то наше уравнение будет иметь единственный корень.
Значит, для того чтобы наше уравнение имело два корня необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство f(3) > 0.
12 - ∣9 - ∣3 + a∣∣ > 0,
∣9 - ∣3 + a∣∣ < 12,
-12 < 9 - ∣3 + a∣ < 12,
-21 < -∣3 + a∣ < 3,
-3 < ∣3 + a∣ < 21,
∣3 + a∣< 21,
-21< 3 + a < 21,
-24 < a < 18.
Ответ: a ∈ (-24; 18).
| 
