В этой сообщении я расскажу об относительно новом приеме решения задачи на нахождение угла между плоскостями с помощью метода координат.
Как известно, две пересекающиеся плоскости образуют две пары равных между собой двугранных углов. Величиной угла между плоскостями называется величина меньшего двугранного угла. Пусть φ - угол между этими двумя пересекающими плоскостями, а {a1; a2; a3} и {b1; b2; b3} - векторы, перпендикулярные плоскостям α1 и α2 соответственно. Эти векторы принято называть нормальными векторами к плоскостям α1 и α2. Тогда
А теперь рассмотрим решение следующей задачи.
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре AA1 взята точка М так, что AM = 8. На ребре BB1 взята точка K так, что B1К=8. Найдите угол между плоскостью D1MK и плоскостью CC1D1.
Выполним чертеж и введем введем систему координат так как на следующем рисунке.
Эту задачу я позаимствовал на странице http://ege-ok.ru/2012/03/19/ugol-mezhdu-ploskostyami-metod-koordinat-zadanie-s2/. Однако далее мое решение будет резко отличаться от того, которое приведено там. Дело в том, что я буду использовать явно не традиционный координатный прием.
Нам нужно найти угол φ - угол между плоскостями D1MK и плоскостью CC1D1. Угол φ равен углу между нормалями к плоскостям D1MK и CC1D1.
Вектор {0; 1; 0} будет нормалью к плоскости CC1D1. Осталось найти нормаль к плоскости D1MK.
Пусть нормаль к плоскости D1MK имеет координаты {x; y; z}. Эта нормаль будет перпендикулярна векторам МК и МD. Точки М, К и D имеют координаты (0; 0; 13), (12;0; 0 ) и (0; 12; 0) соответственно. Тогда вектор МК имеет координаты {12; 0; -13}, а вектор МD - {0; 12; -13}.
Так как вектор {x; y; z} перпендикулярен векторам МК и МD, то скалярное произведения вектора {x; y; z} и вектора МК равно 0. Точно также скалярное произведения вектора {x; y; z} и вектора МD равно 0. Поэтому
Положив z = 12 получим х = 5, у = 13. Таким образом, векторы {0; 1; 0} и {5; 13; 12} будут перпендикулярны плоскостям CC1D1 и D1MK. Поэтому косинус угла между этими плоскостями мы найдем по формуле
