Эта заметка полностью посвящена решению следующей задачи ЕГЭ по математике.
Найти все значения параметра а при которых неравенство х2 + 3|x - a| + a + x - 3 ≤ 0 имеет хотя бы одно неположительное решение.
Решение I. Существует весьма общий метод решения таких уравнений, неравенств и их систем, который известен в кругах профессиональных репетиторов по математике под названием "Координатно-параметрический метод". Этот метод хорошо описан в книге "Задачи с параметрами. Координатно-параметрический метод " В.П. Моденова. Скачать эту прекрасную книгу в электронном формате можно совершенно бесплатно в Интернете, например, по адресу http://mirknig.com/knigi/nauka_ucheba/1181707260-zadachi-s-parametrami-koordinatno-parametricheskiy-metod.html . Решение нашей задачи этим методом я опубликую через некоторое время. А пока прочитайте мое Решение II и послушайте решение другого специалиста.
Решение II. Мне больше всего нравится другой способ (наверное, потому, что его придумал я :).
Найти все значения параметра а при которых неравенство х2 + 3|x - a| + a + x - 3 ≤ 0 имеет хотя бы одно неположительное решение.
Все слагаемые, содержащие параметр а оставим в левой части, а остальные - перенесем в правую часть с противоположными знаками и получим неравенство 3|x - a| + a ≤ -х2 - х + 3.
Как и в предыдущем случае решать будем графически. Построим "неподвижный" график y = -х2 - х + 3 и зависящий от значения параметра а график ломанной y = 3|x - a| + a.
Расположение ломанной (L) зависит от значения параметра а. Однако в любом случае вершина А(a; a) лежит на прямой y = x.
Продолжим далее перевод нашей задачи на язык модели (графический язык). Нужно найти такие расположения ломанной (L), при которых эта ломанная будет иметь хотя бы одну точку с красной областью.
При этом нас устраивает даже такое положение ломанной (L), при котором она имеет только одну точку с красной областью. Поэтому если мы начнем опускать ломанную (L) вниз, то первая такая позиция будет (L1) (см. рисунок ниже). В этом случае кривая (L1) будет иметь единственную точку с красной областью - (0; 3).
Найдем теперь другое крайнее положение ломанной (L) - нижнее. Это - кривая (L0). Правое звено ломанной (L0) луч y = 3x - 2a будет касаться красной области в точке М, абсцисса которой удовлетворяет нашему неравенству.
Таким образом, если вершина ломанной (L) находится на отрезке А0А1, то кривая (L) будет иметь с красной областью хотя бы одну общую точку. Это и есть геометрическое решение нашей задачи.
Теперь остается найти алгебраическую интерпретацию этого решения, т. е. условие "вершина ломанной (L) находится на отрезке А0А1" выразить в виде алгебраического соотношения для параметра а. Нетрудно догадаться, что параметр а должен меняться от а0 до а1, т. е а ∈ [а0; а1].
Теперь остается только найти значения а0 и а1. Однако предварительно составим уравнения левой и правой ветви ломанной (L).
Для левой ветви ломанной (L) х ≤ а. Поэтому y = 3|x - a| + a = -3x + 3a + a = -3x + 4a. Для правой же ветви имеем х ≥ а; y = 3|x - a| + a = 3x - 3a + a = 3x - 2a.
Найдем теперь значение а1. Левая ветвь ломанной (L1) - луч y = -3x + 4a проходит через точку (0; 3), т. е. 3 = -3 ⋅ 0 + 4а, 4а = 3, а = 3/4. Значит, а1= 3/4 = 0,75.
Теперь очередь за значением а0. Найдем сначала координаты точки М. Луч y = 3x - 2a касается параболы y = -x2 -x + 3. Это означает, что y' = (-x2 - x + 3)' = -2x - 1 = 3, -2x = 4, x = -2 - абсцисса точки М. Подставим х = -2 в уравнение параболы и найдем значение ординаты точки М. y = -(-2)2 - (-2) + 3 = -4 + 2 + 3 = 1.
Точка М(-2; 1) лежит на луче y = 3x - 2a. Из этого условия определим значение параметра а. 1 = 3 ⋅ (-2) - 2а, 2а = -7, а = -3,5. Значит, а0 = -3,5.
Ответ: a ∈ [-3,5; 0,75].
Решение III. Предыдущие два решения я придумал после того как посмотрел следующий видеоролик с оригинальным решением. Вообще должен отметить, что на этом канале приведены очень толковые решения заданий тестов ЕГЭ (особенно тех, в которых нужная высокая математическая грамотность).
