Задание С6 досрочного ЕГЭ по математике 23 апреля 2013
 Не успел 23 апреля 2013 года пройти досрочный экзамен ЕГЭ по математике, а 27 апреля уже появились в Сети условия этого тестового задания с решениями. Копии этих условий с ответами и решениями опубликованы и у меня на сайте. Скачать их можно здесь.
Однако есть только одно НО. Во всех этих материалах почему то не решена одна задача С6. За полное решение этой задачи можно получить 4 балла, а за неполное от 1 до 3 баллов.
В этой заметке я постараюсь исправить этот НЕДОЧЕТ.
C6 Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n ≥ 3). а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14? б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900? в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 123.
Решение.
А) Этот пункт я решал так. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 - больше на 1. Отбросим первое слагаемое. 2 + 3 + 4 + 5 = 14. Теперь все путем!. Ответ: да, например, 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Таким образом один балл обеспечен. Согласитесь, это хорошо и полезно.
Б) Наибольшее значение n будет, если первый член и знаменатель прогрессии будут равны по 1. Поэтому
Так как n - натуральное число, то n ≤ 41. Поэтому наибольшее значение n равно 41. Ответ: 41.
Вот и второй балл за эту задачу заработан.
В) Эта часть задания, конечно, будет не для всех, а только для наиболее подготовленных учеников.
Так как а1, d и n - натуральные и при этом n ≥ 3, то допустимы следующие варианты.
1) n = 3.
(2а1 + 2d)⋅ 3 = 2 ⋅ 3 ⋅ 41,
а1 + d = 41.
Пусть а1 = 40, тогда d = 1. В этом случае условию задачи удовлетворяет прогрессия 40, 41, 42.
2) n = 6.
(2а1 + 5d)⋅ 6 = 2 ⋅ 3 ⋅ 41,
2а1 + 5d = 41.
Для последнего уравнения нам достаточно найти хотя бы одно решение. Таким решением будет а1= 3, d = 7. Как найти такое решение? Да весьма просто. Значение d не может быть больше 8. Подставляя в последнее уравнение последовательно вместо d значения 8, 7 мы получим указанное ранее решение. Остальные решения нас уже не интересуют.
Вот пример прогрессии из шести членов: 3, 10, 17, 24, 31, 38 (3 + 10 + 17 + 24 + 31 + 38 = 123).
3) n = 41.
(2а1 + 40d)⋅ 41 = 2 ⋅ 3 ⋅ 41,
2а1 + 40d = 6.
а1 + 20d = 3. Это уравнение не имеет решение, так как а1 + 20d ≥ 21.
По этой же причине невозможны случаи когда n > 41. Ответ: 3, 6.
Вот ответ ко всей задаче в целом.
Ответ: а) да, например, 2 + 3 + 4 + 5 = 14; б) 41, в) 3, 6.
| 
