C6. На доске написано более 42, но менее 54 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -7, среднее арифметическое всех положительных из них равно 6, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -12.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Решение.
Пусть на доске написано n чисел. Тогда их сумма: S = -7n. Если p - количество положительных чисел, то их сумма равна 6р; если m - количество отрицательных чисел, то их сумма равна -12m. Если z - количество нулей, то n = p + m + z и -7n = 6р - 12m.
a) Правая часть последнего равенства делится на 6. Поскольку 6 и 7 взаимно просты, число n делится на 6. Между числами 42 и 54 есть только одно такое число: n = 48.
б) Из равенства -7 ⋅ 48 = 6p - 12m получаем после сокращения на 6: 2m - p = 56. Кроме того: p + m + z = 48.Сложив полученные равенства получим 3m + z = 104. Так как 104 при делении на 3 дает остаток 2, то число z также даёт остаток 2 при делении на 3: z = 3k + 2 (k ≥ 0). Отсюда: 3m + 3k + 2 = 104, или m = 34 - k.Соответственно, p = 2m - 56 = 2(34 - k) - 56 = 12 - 2k.
Составляем разность: p - m = (12 - 2k) - (34 - k) = -22 - k < 0, так что p < m; отрицательных чисел написано больше.
в) Из равенства p = 12 - 2k видим, что p ≤ 12.
Приведем пример с p = 12 (тогда k = 0, z = 2, m = 34). Пусть написано 12 чисел 6, 34 числа -12 и два нуля. Этот набор удовлетворяет условию задачи: среднее арифметическое положительных чисел равно, очевидно, 6; среднее арифметическое отрицательных чисел равно -12, а среднее арифметическое всех чисел: (12 ⋅ 6 + 34 ⋅ (-12))/48 = -7/
Следовательно, наибольшее возможное количество положительных чисел равно 12.
Ответ: а) 48; б) отрицательных; в) 12.
