Главная | Регистрация | Вход | RSSПятница, 16.11.2018, 02:26

Сдай ЕГЭ и ЕНТ по математике на отлично!

Меню сайта
Категории раздела
Статьи о решении тестовых заданий [11]
Здесь рассказывается об особых, специализированных приемах решения тестовых заданий ЕГЭ и ЕНТ по математике. Эти приемы позволяют абитурентам без проблем сдавать ЕГЭ и ЕНТ.
Online тесты ЕНТ [4]
Здесь Вы можете пройти onlne тестирование и подготовиться к экзаменам ЕНТ (Казахстан)
Тесты. Теория [6]
В этой рубрике содержится история и теория создания тестовых заданий
Интернет для подготовки к ЕГЭ и ЕНТ [1]
Здесь можно прочитать о том, как найти тесты ЕГЭ в Интернете, как оформить бланки ответов и т. п. технические моменты.
Уроки решения тестов ЕГЭ и ЕНТ [35]
Этот раздел посвящен урокам решениям тестовых заданий ЕГЭ и ЕНТ. Эти материалы помогут подготовиться учащимся к успешной сдаче выпускных экзаменов, а учителям послужат полезным дидактическим материалом.
Книги для подготовки к ЕГЭ и ЕНТ [1]
Здесь выложены адреса для скачивания книг для подготовки к ЕГЭ и ЕНТ по математике
Наш опрос
Оцените мой сайт
Всего ответов: 2415
Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
Рейтинг сайта
Счетчик тИЦ и PR
Ваш IP
Узнай свой IP адрес

Каталог статей

Главная » Статьи » Материалы прошлых лет » Уроки решения тестов ЕГЭ и ЕНТ

Уроки решения тестов ЕГЭ и ЕНТ. Урок 28
Уроки решения тестов ЕГЭ и ЕНТ. Урок 28

Тригонометрия в тестах ЕГЭ и ЕНТ


Тестовые задания по тригонометрии - самые трудные и нелюбимые школьниками. Почему? Причина проста. Школьники на хотят зубрить соответствующие формулы. А без формул в тригонометрии никуда. А можно ли решать тестовые (и не только) знания без формул?

Вообще говоря нельзя. Но если очень хочется, то можно. А если серьезно, то можно, но с одной оговоркой - только иногда. При этом в редких случаях. На сегодняшнем уроке разберем такие тестовые задания по тригонометрии.

Пример 1. Дано: tgα = 3/4, 0 < α < π/2. Вычислить sinα + 2cosα.
    1) -10/5;      2) 10/5;      3) -11/5;             4) 11/5;      5) 7/5.     


Расскажу о двух возможностях решения этого задания.

Первый путь состоит в применении калькулятора (конечно, математического, а не базарного). Так как 0 < α < π/2, то возможен следующий подход. На калькуляторе разделим 3 на 4. Получим 0,75. Затем ищем клавишу Shift (на калькуляторе) и нажимаем на нее (только один раз). Ничего не должно произойти. После этого найдем клавишу tan и нажимаем на нее. Результатом будет число 36.86989765 (у тех, у кого калькулятор настроен на работу с градусным измерением углов) или 0.643501108 (значение α в радианах). Не трогайте далее калькулятор и выпишите это число на бумагу, оставив только 3-4 цифры после запятой (у Вас десятичной точки). Например, 36.8698о или 0.6435 радиан.

Затем надо нажать на клавишу sin и вы получите значение sinα. Это число советую тоже выписать на бумагу (должно быть 0.6). После этого вычислите на том же калькуляторе 2cosα (α = 36.8698 или α = 0.6435 у Вас записано на бумаге). Должно получится 0.800001022. Сложите числа
0.6 и 2 · 0.800001022 = 1.600002044. Получите 2.400002044.

Такого ответа нет, скажут некоторые и будут, конечно, правы. Теперь не трогая ответы, в которых указаны отрицательные числа, мы будем делить 10 на 5 (ответ 2) и получим 2. Этот никак не совпадает с нашим ответом 2.200002044. Затем разделим 11 на 5 и получим 2.2. Вроде этот ответ похож на наш. Оставим его под подозрением. Осталось разделить 7 на 5 (ответ 5). Получаем 1.8 - резко отличается от нашего ответа - значит, ответ 5 неверный.

Правильный ответ 4).

Остается ответить на простой вопрос: "Почему правильный ответ, хоть незначительно, но отличается от "калькуляторного" ответа"? Так и должно быть. Это плата на наше отбрасывание у почти точного значения угла α = 36.86989765 или α = 0.643501108 некоторых цифр, округления до числа 36.8698о или до 0.6435 радиан.

Наконец, отмечу, что современные математические калькуляторы позволяют работать значительно эффективнее. Но я рассказал алгоритм для самых и самых неопытных пользователей математических калькуляторов. Те, кто считает себя боле продвинутыми могут переделать мой алгоритм. А мне некогда топтаться на месте. Я перейду ко второму способу решения этого задания без калькуляторов.

«Мы все учились понемногу, чему-нибудь и как-нибудь», сказал великий классик (А. С. Пушкин). Действительно, все мы учились и продолжаем учимся как-нибудь. И в этом наше горе (после дураков и дорог). А если перевести эти слова нашу тему, то это означает, что выучив один раз определение тригонометрических функций мы навсегда их забываем или вспоминаем от случая к случаю. Действительно, в курсе алгебры мы находим значения тригонометрических функций по известному значению одной из них, упрощаем выражения, решаем уравнения. При этом опираемся не на определение тригонометрические функций, а на псалтырь (Ж. Дьедоне) формул.

Вот как можно решить наше тестовое задание без всяких формул, используя только определение тангенса, косинуса и котангенса одного и того же угла. Так как 0 < α < π/2 (угол α - острый), то используем определение тригонометрических функций для острого угла из курса геометрии восьмого класса (кто не помнит - почитайте учебник геометрии).

Построим прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 (стройте сами без меня). Понятно, что это так называемый египетский треугольник, у которого гипотенуза равна 5 (кто в этом не уверен - вычислите гипотенузу по теореме Пифагора). Тогда sinα по определению равен отношению противолежащего катета (3) к гипотенузе (5), cosα - отношению прилежащего катета (4) к гипотенузе (5).

Поэтому sinα + 2cosα = 3/5 + 8/5 = 11/5. Значит, ответ 4 - правильный.

Пример 2. Дано: sinα = -3/5, π < α < 3π/2. Вычислите 2tgα + ctgα.
    1) 25/12;      2) 17/6;      3) -25/12;             4) -17/6;      5) 25/6.     


В координатной плоскости ХОУ построим окружность с радиусом 5 и на ней отметим точку с абсциссой -3.

Очевидно, что треугольник МАО - египетский. Поэтому МА = 4. Значит, точка М имеет координаты х = -4, у = -3.

По определению tgα = у/MO = 3/4, а ctgα = х/MO = 4/3. Поэтому 2tgα + ctgα = 3/2 + 4/3 = 17/6. Значит, правильный ответ 2.

А где же калькуляторное решение? Конечно, его можно реализовать. Однако не все так просто. В нашем случае угол α расположен в третьей четверти, а для этих случаев непосредственное применение калькулятора невозможно. Нужно помнить, что калькулятор удобно применять тогда, когда угол α расположен в первой четверти. Поэтому мы рассматривать калькуляторное решение не будем, так как оно потребует больше времени, чем то решение, которое приведено выше.


Пример 1. Дано: sinα = 40/41, 0 < α < π/2. Вычислите tgα - ctgα.
    1) 1681/360;      2) -1519/360;      3) -1681/360;
    4) 81/360;      5) 1519/360.     


Пример 2. Дано: cosα = -3/5, π/2 < α < π. Вычислите tgα + sinα.
    1) -8/15;      2) 8/15;      3) 32/15;             4) -32/15;      5) 31/20.     


Если хотите сравнить найденные вами решения с другими решениями, то опубликуйте свои решения в комментариях к этой статье или на форуме. В этом случае вы получите не одно, а несколько решений каждой их этих задач.
Категория: Уроки решения тестов ЕГЭ и ЕНТ | Добавил: egeent (13.01.2009)
Просмотров: 7307 | Комментарии: 3 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 3
3 Larisa  
Мне кажется, что формулы надо не зубрить,а понимать их вывод. В этом случае видно, что основные формулы - это основное тригонометрическое тождество и косинус суммы. Остальные формулы из них выводятся за считанные секунды. Если понятна связь между формулами, то и с их применением нет проблем.

2 lezoff  
tgα - ctgα=1519/360

tgα + sinα=-8/15


1 Svetlana  
все это замечательно, но как быть на ЕГЭ? Калькулятор там запрешен, а знания 2-3 формул по тригонометрии явно недостаточно.

Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Вход на сайт
Поиск
Мои инструменты

Общие
1. Арифметический калькулятор
2. Инженерный калькулятор
3. Построение графиков

Арифметические
1. НОД и НОК двух чисел

Алгебраические
1. Разложение многочлена или числа на множители
2. Возведение многочлена в степень
3. Решение уравнения f(x)=0

Анализ
1. Область определения и множество значений функции
2. Экстремумы функции на отрезке
3. Уравнение касательной
4. Вычислить первообразную
5. Вычислить интеграл

Метод координат
1. Уравнение прямой по двум точкам
2. Уравнение плоскости по  трем точкам, не лежащим на одной прямой
3. Симметрия точки относительно плоскости

Мой видеоблок
Рассылка
Сдай ЕГЭ и ЕНТ по математике на пять!
Рассылка 'Сдай ЕГЭ и ЕНТ по математике на пять!'
Подписаться

Мой блок
Мой блог
Обмен банерами
Если вы хотите обменяться с нами баннерами, пишите мне.

Наша кнопка


Получить код:


Copyright MyCorp © 2018