Здесь рассказывается об особых, специализированных приемах решения тестовых заданий ЕГЭ и ЕНТ по математике. Эти приемы позволяют абитурентам без проблем сдавать ЕГЭ и ЕНТ.
Этот раздел посвящен урокам решениям тестовых заданий ЕГЭ и ЕНТ. Эти материалы помогут подготовиться учащимся к успешной сдаче выпускных экзаменов, а учителям послужат полезным дидактическим материалом.
Тестовые задания по
тригонометрии - самые трудные и нелюбимые школьниками. Почему? Причина
проста. Школьники на хотят зубрить соответствующие формулы.
А без формул в тригонометрии никуда. А можно ли решать тестовые (и не
только) знания без формул?
Вообще говоря нельзя. Но если очень
хочется, то можно. А если серьезно, то можно, но с одной оговоркой -
только иногда. При этом в редких случаях. На сегодняшнем уроке разберем такие тестовые задания по тригонометрии.
Расскажу о двух возможностях решения этого задания.
Первый
путь состоит в применении калькулятора (конечно, математического, а не
базарного). Так как 0 < α < π/2, то возможен следующий подход. На
калькуляторе разделим 3 на 4. Получим 0,75.
Затем ищем клавишу Shift (на калькуляторе) и нажимаем на нее (только
один раз). Ничего не должно произойти. После этого найдем клавишу tan и
нажимаем на нее. Результатом будет число 36.86989765 (у тех, у кого
калькулятор настроен на работу с градусным измерением углов) или
0.643501108 (значение α в радианах). Не трогайте далее калькулятор и
выпишите это
число на бумагу, оставив только 3-4 цифры после запятой (у Вас
десятичной точки). Например, 36.8698о или 0.6435 радиан.
Затем надо нажать на клавишу sin и вы получите значение sinα. Это число советую тоже выписать на бумагу (должно быть 0.6).
После этого вычислите на том же калькуляторе 2cosα (α = 36.8698 или α = 0.6435 у Вас
записано на бумаге). Должно получится 0.800001022. Сложите числа
0.6 и 2 · 0.800001022 = 1.600002044. Получите 2.400002044.
Такого ответа нет, скажут некоторые и будут, конечно, правы. Теперь не
трогая ответы, в которых указаны отрицательные числа, мы будем делить
10 на 5 (ответ 2) и получим 2. Этот никак не совпадает с нашим ответом
2.200002044. Затем разделим
11 на 5 и получим 2.2. Вроде этот ответ похож на наш. Оставим его под
подозрением. Осталось разделить 7 на 5 (ответ 5). Получаем 1.8 - резко
отличается от нашего ответа - значит, ответ 5 неверный.
Правильный ответ 4).
Остается ответить на простой вопрос: "Почему правильный ответ, хоть
незначительно, но отличается от "калькуляторного" ответа"? Так и должно быть. Это плата на наше отбрасывание у почти
точного значения угла α = 36.86989765 или α = 0.643501108 некоторых
цифр, округления до числа 36.8698о или до 0.6435 радиан.
Наконец, отмечу, что современные математические калькуляторы позволяют
работать значительно эффективнее. Но я рассказал алгоритм для самых и
самых неопытных пользователей математических калькуляторов.
Те, кто считает себя боле продвинутыми могут переделать мой алгоритм. А
мне некогда топтаться на месте. Я перейду ко второму способу решения
этого задания без калькуляторов.
«Мы все учились понемногу, чему-нибудь и как-нибудь», сказал великий
классик (А. С. Пушкин). Действительно, все мы учились и продолжаем
учимся как-нибудь. И в этом наше горе (после дураков и дорог). А если
перевести эти слова нашу тему, то это означает, что выучив один раз
определение тригонометрических функций мы навсегда их забываем или
вспоминаем от случая к случаю. Действительно, в курсе алгебры мы
находим значения тригонометрических функций по известному значению
одной из них,
упрощаем выражения, решаем уравнения. При этом опираемся не на
определение тригонометрические
функций, а на псалтырь (Ж. Дьедоне) формул.
Вот как можно решить наше тестовое задание без всяких формул, используя
только определение тангенса, косинуса и котангенса одного и того же
угла.
Так как 0 < α < π/2 (угол α - острый), то используем определение
тригонометрических функций для острого угла из курса геометрии восьмого
класса (кто не помнит - почитайте учебник геометрии).
Построим прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 (стройте сами без
меня). Понятно, что это так называемый египетский треугольник, у
которого гипотенуза равна 5 (кто в этом не уверен - вычислите
гипотенузу по теореме Пифагора).
Тогда sinα по определению равен отношению противолежащего катета (3) к
гипотенузе (5), cosα - отношению прилежащего катета (4) к гипотенузе
(5).
Поэтому sinα + 2cosα = 3/5 + 8/5 = 11/5. Значит, ответ 4 - правильный.
Мне кажется, что формулы надо не зубрить,а понимать их вывод. В этом случае видно, что основные формулы - это основное тригонометрическое тождество и косинус суммы. Остальные формулы из них выводятся за считанные секунды. Если понятна связь между формулами, то и с их применением нет проблем.
Уроки решения тестов ЕГЭ и ЕНТ. Урок 28
Пример 1. Дано: tgα = 3/4, 0 < α < π/2. Вычислить sinα + 2cosα.
