Главная | Регистрация | Вход | RSSЧетверг, 19.04.2018, 20:04

Сдай ЕГЭ и ЕНТ по математике на отлично!

Меню сайта
Категории раздела
Статьи о решении тестов ЕНТ [0]
Статьи о решении тестов ЕГЭ [22]
Наш опрос
Система ЕНТ дает объективную оценку уровня знаний учащихся?
Всего ответов: 347
Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
Рейтинг сайта
Счетчик тИЦ и PR
Ваш IP
Узнай свой IP адрес

Каталог статей

Главная » Статьи » Подготовка к ЕГЭ и ЕНТ в 2014-2015 году » Статьи о решении тестов ЕГЭ

Задача #20 ЕГЭ-2015 по математике
Задача #20 ЕГЭ-2015 по математике

Эта заметка полностью посвящена решению следующей задачи ЕГЭ по математике.

Найти все значения параметра а при которых неравенство х2 + 3|x - a| + a + x - 3 ≤ 0 имеет хотя бы одно неположительное решение.

Решение I. Существует весьма общий метод решения таких уравнений, неравенств и их систем, который известен в кругах профессиональных репетиторов по математике под названием "Координатно-параметрический метод". Этот метод хорошо описан в книге "Задачи с параметрами. Координатно-параметрический метод " В.П. Моденова. Скачать эту прекрасную книгу в электронном формате можно совершенно бесплатно в Интернете, например, по адресу http://mirknig.com/knigi/nauka_ucheba/1181707260-zadachi-s-parametrami-koordinatno-parametricheskiy-metod.html . Решение нашей задачи этим методом я опубликую через некоторое время. А пока прочитайте мое Решение II и послушайте решение другого специалиста.

Решение II. Мне больше всего нравится другой способ (наверное, потому, что его придумал я :).

Найти все значения параметра а при которых неравенство х2 + 3|x - a| + a + x - 3 ≤ 0 имеет хотя бы одно неположительное решение.

Все слагаемые, содержащие параметр а оставим в левой части, а остальные - перенесем в правую часть с противоположными знаками и получим неравенство 3|x - a| + a ≤ -х2 - х + 3.

Как и в предыдущем случае решать будем графически. Построим "неподвижный" график y = -х2 - х + 3 и зависящий от значения параметра а график ломанной y = 3|x - a| + a.

111 (502x475, 24Kb)


Расположение ломанной (L) зависит от значения параметра а. Однако в любом случае вершина А(a; a) лежит на прямой y = x.

Продолжим далее перевод нашей задачи на язык модели (графический язык). Нужно найти такие расположения ломанной (L), при которых эта ломанная будет иметь хотя бы одну точку с красной областью.
112 (502x475, 22Kb)

При этом нас устраивает даже такое положение ломанной (L), при котором она имеет только одну точку с красной областью. Поэтому если мы начнем опускать ломанную (L) вниз, то первая такая позиция будет (L1) (см. рисунок ниже). В этом случае кривая (L1) будет иметь единственную точку с красной областью - (0; 3).
114 (700x463, 38Kb)

Найдем теперь другое крайнее положение ломанной (L) - нижнее. Это - кривая (L0). Правое звено ломанной (L0) луч y = 3x - 2a будет касаться красной области в точке М, абсцисса которой удовлетворяет нашему неравенству.

Таким образом, если вершина ломанной (L) находится на отрезке А0А1, то кривая (L) будет иметь с красной областью хотя бы одну общую точку. Это и есть геометрическое решение нашей задачи.

Теперь остается найти алгебраическую интерпретацию этого решения, т. е. условие "вершина ломанной (L) находится на отрезке А0А1" выразить в виде алгебраического соотношения для параметра а. Нетрудно догадаться, что параметр а должен меняться от а0 до а1, т. е а ∈ [а0; а1].

Теперь остается только найти значения а0 и а1. Однако предварительно составим уравнения левой и правой ветви ломанной (L).

Для левой ветви ломанной (L) х ≤ а. Поэтому y = 3|x - a| + a = -3x + 3a + a = -3x + 4a. Для правой же ветви имеем х ≥ а; y = 3|x - a| + a = 3x - 3a + a = 3x - 2a.

Найдем теперь значение а1. Левая ветвь ломанной (L1) - луч y = -3x + 4a проходит через точку (0; 3), т. е. 3 = -3 ⋅ 0 + 4а, 4а = 3, а = 3/4. Значит, а1= 3/4 = 0,75.

Теперь очередь за значением а0. Найдем сначала координаты точки М. Луч y = 3x - 2a касается параболы y = -x2 -x + 3. Это означает, что y' = (-x2 - x + 3)' = -2x - 1 = 3, -2x = 4, x = -2 - абсцисса точки М. Подставим х = -2 в уравнение параболы и найдем значение ординаты точки М. y = -(-2)2 - (-2) + 3 = -4 + 2 + 3 = 1.

Точка М(-2; 1) лежит на луче y = 3x - 2a. Из этого условия определим значение параметра а. 1 = 3 ⋅ (-2) - 2а, 2а = -7, а = -3,5. Значит, а0 = -3,5.

Ответ: a ∈ [-3,5; 0,75].
 
Решение III. Предыдущие два решения я придумал после того как посмотрел следующий видеоролик с оригинальным решением. Вообще должен отметить, что на этом канале приведены очень толковые решения заданий тестов ЕГЭ (особенно тех, в которых нужная высокая математическая грамотность).
 
Категория: Статьи о решении тестов ЕГЭ | Добавил: egeent (12.11.2014)
Просмотров: 2649 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Вход на сайт
Поиск
Мои инструменты

Общие
1. Арифметический калькулятор
2. Инженерный калькулятор
3. Построение графиков

Арифметические
1. НОД и НОК двух чисел

Алгебраические
1. Разложение многочлена или числа на множители
2. Возведение многочлена в степень
3. Решение уравнения f(x)=0

Анализ
1. Область определения и множество значений функции
2. Экстремумы функции на отрезке
3. Уравнение касательной
4. Вычислить первообразную
5. Вычислить интеграл

Метод координат
1. Уравнение прямой по двум точкам
2. Уравнение плоскости по  трем точкам, не лежащим на одной прямой
3. Симметрия точки относительно плоскости

Мой видеоблок
Рассылка
Сдай ЕГЭ и ЕНТ по математике на пять!
Рассылка 'Сдай ЕГЭ и ЕНТ по математике на пять!'
Подписаться

Мой блок
Мой блог
Обмен банерами
Если вы хотите обменяться с нами баннерами, пишите мне.

Наша кнопка


Получить код:


Copyright MyCorp © 2018