Задание 19 базового варианта ЕГЭ 2015 года
 Приступим к детальному разбору содержания базового демоварианта ЕГЭ-2015 в серии выпусков моей рассылки.
Задание 19. Приведите пример трёхзначного числа, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9.
Решение 1. 578. Действительно, 5 + 7 + 8 = 20, 52 + 72 + 82 = 25 + 49 + 64 = 138. У числа 138 сумма цифр равна 12. Так как 12 делится на 3, но не делится на 9, то сумма квадратов цифр числа 578 делится на 3, но не делится на 9.
Ответ: 578.
Это решение вполне допустимо и с точки зрения математики здесь все в порядке, но не понятно, откуда взялось число 578, а не 758. Дело в том, что в условии сказано "Приведите пример", а не "найдите числа ...".
Решение 2. Пусть а, b и с - цифры искомого трехзначного числа. Так как а + b + с = 20, 20 = 18 + 2, то сумма остатков от деления цифр а, b и с на 3 может быть равна 2, 5, так как сумма этих остатков тоже должна при делении на 3 давать остаток 2.
Если то сумма остатков от деления цифр а, b и с на 3 равна 2, то может быть два варианта:
а) две цифры делятся на 3, а треться при делении дает остаток 2. Этот случай нам не подходит, так как сумма квадратов цифр искомого числа при делении на 3 дает тот же остаток что и число 4, т.е. 1.
б) одна цифра делятся на на три, а две другие при делении дают остатки 3 по 1. Этот случай нам также не подходит, так как сумма квадратов цифр искомого числа при делении на 3 дает тот же остаток что и число 12 + 12, т.е. 2.
Если сумма остатков от деления цифр а, b и с на 3 равна 5, то 5 = 2 + 2 + 1 и другой возможности представления числа 5 в виде суммы остатков от деления цифр а, b и с на 3 с точностью до порядка следования слагаемых нет.
Значит, а + b + с = 3x + 1 + 3y + 2 + 3z + 2 = 20. При этом x ≤ 3, a y ≤ 2, z ≤ 2, так 3x + 1, 3y + 2 и 3z + 2 - цифры.
3(x + y + z) = 15,
x + y + z = 5.
Число 5 можно представить в вмде суммы трех чисел x, y и z (x ≤ 3, a y ≤ 2 и z ≤ 2) только только такими способоми: x = 1, y = z = 2 или y = 1, x = z = 2 или z = 1, y = x = 2.
Если x = 1, y = z = 2, то цифры искомого числа равны 3x + 1 = 4, 3y + 2 = 3z + 2 = 8, но тогда 42 + 82 + 82 = 144 - делится на 9.
Если y = 1, x = z = 2 или z = 1, y = x = 2, то цифры искомого числа равны 7, 5 и 8. При этом цифры 7, 5 и 8 удовлетворяют условию задачи и из этих цифр можно составить шесть чисел: 578, 587, 758, 785, 857, 875.
Ответ: 578 или 587 или 758 или 785 или 857 или 875.
Решение 3. Пусть а, b и с - цифры искомого трехзначного числа. Тогда а + b + с = 20.
Наименьшее из трех цифр а, b и с не может равняться 1, так как в противном случае сумма двух других будет равна 19, а для цифр это невозможно.
Представим число 20 в виде суммы трех слагаемых от 2 до 9 с точностью до порядка следования слагаемых.
20 = 2 + 9 + 9 = 3 + 9 + 8 = 4 + 9 + 7 = 4 + 8 + 8 = 5 + 9 + 6 = 5 + 8 + 7. Других способов представления числа 20 нет.
Условию "сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9" удовлетворяет только тройка цифр 5, 7 и 8. Из этих цифр можно составить шесть чисел: 578, 587, 758, 785, 857, 875.
Ответ: 578 или 587 или 758 или 785 или 857 или 875.
А теперь несколько слов о критериях оценки этого тестового задания ЕГЭ.
При любом их трех правильных решений, приведенных, например, выше, ученик получает одно и тоже количество баллов. Однако было бы справедливо, если ученик, который привел первое решение должен получить меньшее число баллов, по сравнению с теми, кто решил вторым и третьим способами. Однако этого не произойдет. Так что критерии оценок тестов ЕГЭ пока еще не совершенны.
Да достигнуть этого совершенства, на мой взгляд, принципиально невозможно, так как человеческий способ оценки школьников пока еще не превзошел никакой автомат или компьютер и так будет происходить еще очень долго. |
