Решение одного функционального уравнения
 Функциональные уравнения и неравенства в математике встречаются повсеместно. Так, именно функциональные уравнения f(x) = f(-x), f(x) = - f(-x) f(x + T) = f(x) задают такие известные нам свойства функций, как четность, нечетность, периодичность многие другие свойства функции.
Под функциональным уравнением в дальнейшем мы будем понимать уравнение, в котором нужно найти неизвестную функцию, связанную с известными элементарными функциями и одной или несколькими переменными при помощи образования некоторого уравнения.
На заключительном этапе Всесибирской олимпиады школьников 2010-2011 г.г. по математике (заключительный этап) в 11 классе было предложено решить следующее функциональное уравнение.
 Функция f(x) определена для всех действительных чисел х, принимает действительные значения и удовлетворяет тождеству f(x + f(y)) = 2x + 4y + 3 для всех х и у. Найти все такие функции f(x).
Решение. Так как f(x + f(y)) = 2x + 4y + 3, то f(f(x + f(y))) = f(2x + 4y + 3).
В соответствие с условием задачи f(f(x + f(y))) = f(0 + f(x + f(y))) = 2 ⋅ 0 + 4(x + f(y)) + 3 = 4х + 4f(y) + 3. Поэтому
4х + 4f(y) + 3 = f(2x + 4y + 3).
Подберем х так, чтобы выполнялось равенство 2x + 4y + 3 = у. Для этого решим последнее уравнение относительно х. 2х = -3у - 3, х = -(3у/2) - 3/2. Подставив это значение х в равенство 4х + 4f(y) + 3 = f(2x + 4y + 3) получим
4(-(3у/2) - 3/2) + 4f(y) + 3 = f(у), -6у - 6 + 3 + 3f(у) = 0, 3f(у) = 6у + 3, f(у) = 2у + 1.
Значит, искомая функция найдена: f(x) = 2x + 1.
Ответ: f(x) = 2x + 1.
N.B. Я пока еще не нашел хорошей книги для подготовки школьников к решению функциональных уравнений. Те же книги, которые есть в Интернете очень далеки от практики школьных олимпиад.
| 
