Главная | Регистрация | Вход | RSSЧетверг, 19.04.2018, 20:07

Сдай ЕГЭ и ЕНТ по математике на отлично!

Меню сайта
Категории раздела
Статьи о решении тестов ЕНТ [7]
Авторские статьи о приемах решения тестов ЕНТ по математике
Статьи о решении тестов ЕГЭ [20]
Здесь, как правило, будут рассматриваться решения тестовых заданий ЕГЭ типа С
Олимпиады вместо ЕГЭ [4]
Наш опрос
Оцените мой сайт
Всего ответов: 2415
Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
Рейтинг сайта
Счетчик тИЦ и PR
Ваш IP
Узнай свой IP адрес

Каталог статей

Главная » Статьи » Подготовка к ЕГЭ и ЕНТ 2012 года » Олимпиады вместо ЕГЭ

Решение одного функционального уравнения
Решение одного функционального уравнения


Функциональные уравнения и неравенства  в математике встречаются повсеместно. Так, именно функциональные уравнения f(x) = f(-x), f(x) = - f(-x) f(x + T) = f(x) задают такие известные нам свойства функций, как четность, нечетность, периодичность многие другие свойства функции.

Под функциональным уравнением в дальнейшем мы будем понимать уравнение, в котором нужно найти неизвестную функцию, связанную с известными элементарными функциями и одной или несколькими переменными при помощи образования некоторого уравнения.

На заключительном этапе Всесибирской олимпиады школьников 2010-2011 г.г. по математике (заключительный этап) в 11 классе было предложено решить следующее функциональное уравнение.

 Функция f(x) определена для всех действительных чисел х, принимает действительные значения и удовлетворяет тождеству f(x + f(y)) = 2x + 4y + 3 для всех х и у. Найти все такие функции f(x).

Решение. Так как f(x + f(y)) = 2x + 4y + 3, то f(f(x + f(y))) = f(2x + 4y + 3).

В соответствие с условием задачи f(f(x + f(y))) = f(0 + f(x + f(y))) = 2 ⋅  0 + 4(x + f(y)) + 3 = 4х + 4f(y) + 3. Поэтому

4х + 4f(y) + 3 = f(2x + 4y + 3).

Подберем х так, чтобы выполнялось равенство 2x + 4y + 3 = у. Для этого решим последнее уравнение относительно х. 2х = -3у - 3, х = -(3у/2) - 3/2. Подставив это значение х в равенство 4х + 4f(y) + 3 = f(2x + 4y + 3) получим

4(-(3у/2) - 3/2) + 4f(y) + 3 = f(у), -6у - 6 + 3 + 3f(у) = 0, 3f(у) = 6у + 3, f(у) = 2у + 1.

Значит, искомая функция найдена: f(x) = 2x + 1.

Ответ: f(x) = 2x + 1.

N.B. Я пока еще не нашел хорошей книги для подготовки школьников к решению функциональных уравнений. Те же книги, которые есть в Интернете очень далеки от практики школьных олимпиад.


Щелкни здесь и посмотри остальные уроки решения тестов ЕГЭ и ЕНТ!
Категория: Олимпиады вместо ЕГЭ | Добавил: egeent (28.01.2012)
Просмотров: 2156 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Вход на сайт
Поиск
Мои инструменты

Общие
1. Арифметический калькулятор
2. Инженерный калькулятор
3. Построение графиков

Арифметические
1. НОД и НОК двух чисел

Алгебраические
1. Разложение многочлена или числа на множители
2. Возведение многочлена в степень
3. Решение уравнения f(x)=0

Анализ
1. Область определения и множество значений функции
2. Экстремумы функции на отрезке
3. Уравнение касательной
4. Вычислить первообразную
5. Вычислить интеграл

Метод координат
1. Уравнение прямой по двум точкам
2. Уравнение плоскости по  трем точкам, не лежащим на одной прямой
3. Симметрия точки относительно плоскости

Мой видеоблок
Рассылка
Сдай ЕГЭ и ЕНТ по математике на пять!
Рассылка 'Сдай ЕГЭ и ЕНТ по математике на пять!'
Подписаться

Мой блок
Мой блог
Обмен банерами
Если вы хотите обменяться с нами баннерами, пишите мне.

Наша кнопка


Получить код:


Copyright MyCorp © 2018