Задание типа С2 ЕГЭ 2012 года
 В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 5. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE : EA1 = 3 : 2. Найти угол между плоскостями АBC и BED1.
Решение. Пусть прямая D1E пересекает прямую AD в точке K. Тогда плоскости ABC и BED1 будут пересекаться по прямой KB.
Из точки E опустим перпендикуляр EH на прямую KB, тогда отрезок AH (проекция EH) будет перпендикулярна прямой KB (теорема о трех перпендикулярах).
Угол AHE является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями ABC и BED1.
Поскольку AE : EA1 = 3 : 2, получаем:  .
Из подобия треугольников А1D1E и AKE получаем:  .
В прямоугольном треугольнике AKB с прямым углом A: АВ = 2, АК = 3,  ; откуда высота  .
Из прямоугольного треугольника AHE с прямым углом A получаем:  и ∠ AHE = arctg(√13/2).
Ответ: arctg(√13/2).
Задания для самостоятельного решения
1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB1 = 2, AD = AA1 = 1. Найдите угол между прямой АВ и плоскостью АВС1.
2. В прямой шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все углы равны 1. НАйдите расстояние от точки В до плоскости DEA1.
3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 1, AA1 = 2. Найдите угол между прямой АВ1 и плоскостью АВС1.
| 
