Наименьшее значение функции
Обсудим решение следующей задачи.
Найдите все значения а, при которых функция х² + 4х + |х² - 1,5х - 1| - а принимает только неотрицательные значения.
Решение. Переформулируем эту задачу так: "Найдите все значения а, при которых неравенство х² + 4х + |х² - 1,5х - 1| ≥ а выполняется при всех значениях х."
Решать эту задачу будем графически. Построим графики функций y = х² + 4х + |х² - 1,5х - 1| и у = а и найдет те значения параметра а, при которых график функции y = х² + 4х + |х² - 1,5х - 1| находится ниже прямой у = а.
Построить график функции y = х² + 4х + |х² - 1,5х - 1| можно по разному: раскрывать знак модуля в зависимости от знака трехчлена х² - 1,5х - 1; использовать инструмент "Графопостроитель" из меню "Инструменты" в правом столбце этой страницы.
Нам нужен не сам график функции y = х² + 4х + |х² - 1,5х - 1|, а наименьшее значение этой функции. Поэтому в окошке для ввода данных системы Wolfram Alpha запишем текст с заданием найти наименьшее значение функции y = х² + 4х + |х² - 1,5х - 1|: minimize x^2 + 4x + abs(x^2 -1.5x-1).
Здесь "minimize" дает задание системе Wolfram Alpha найти наименьшее значение нашей функции, которая записывается так: x^2 + 4x + abs(x^2 -1.5x-1). Затем следует нажать на клавишу Enter или знак "=".
Понятно, что при а > -57/32 не весь график функции y = х² + 4х + |х² - 1,5х - 1| расположен выше прямой у = а, а при а ≤ -57/32 весь график функции y = х² + 4х + |х² - 1,5х - 1| расположен над прямой у = а или касается его.
Значить, ответ нашей задачи имеет вид: "При а ≤ -57/32". |