Решение уравнений ЕГЭ в целых числах  

Существуют две крайние точки зрения по поводу использования Интернет-ресурсов в преподавании математики. Первая точка зрения состоит в полном запрете на использование любой вычислительной техники, в том числе и Интернета, вплоть до запрещения наказания и т. п.. Другая точка зрения - полная противоположность первой, зачем учить математику ведь для этого есть специальные программы и соответствующие сервисы.

Как же быть? Думаю, что учить пользоваться вычислительный техникой следует. Запреты и наказания здесь не помогут. Однако следует учить так, чтобы знания и умения учащихся стали еще прочнее, а не ухудшались.

Для современного учителя и пытливого ученика  вычислительная техника - это не препятствие для достижения высоких педагогических результатов, а  мощнейший инструмент более полного понимания изучаемого предмета, замечательный инструмент для упрощения типично черновой работы.

В этой статье рассказывается о том, как следует использовать сервис http://www.wolframalpha.com/ в образовательных целях, в частности для решения заданий ЕГЭ на решение уравнений в целых числах.

1. Решить уравнение 2x² - 2xy +9x +2y = 2 в целых числах. 

Решение.

Попытаемся уединить переменную у через х в одной из частей данного уравнения.

2x² + 9x  - 2 = 2xy - 2y;

2x² + 9x  - 2 = 2y(x - 1).                     (*)

Левую часть последнего уравнения представим как многочлен не от переменной х, а от переменной х - 1.

2x² + 9x  - 2 = 2(х - 1)² + 13x - 4 = 2(х - 1)² + 13(x  - 1) + 9.

Теперь наше уравнение примет вид

2(х - 1)² + 13(x  - 1) + 9 = 2y(x - 1);

Понятно,  что х = 1 не является решением данного уравнения, значит, х - 1 ≠ 0 и х ≠ 1. Нетрудно также сообразить, что х - 1 следует искать среди делителей числа 9: ±1; ±3;±9;.

Если х - 1 = 1, то х = 2 и 2 + 13 + 9 = 2у, 2у = 24, у = 12.

Если х - 1 = -1, то х = 0 и 2 - 13 + 9 = -2у, 2у = 2, у =1.

Если х - 1 = 3, то х = 4 и 18 + 39 + 9 = 6у, 6у = 66, у =11.

Если х - 1 = -3, то х = -2 и 18 - 39 + 9 = -6у, -6у = -12, у =2.

Если х - 1 = 9, то х = 10 и 162 + 117 + 9 = 18у, 18у = 288, у =16

Если х - 1 = -9, то х = -8 и 162 - 117 + 9 = -18у, -18у = 54, у = -3.

Ответ: (2; 12), (0; 1), (4; 11), (-2; 2), (10; 16), (-8; -3).

Правильно ли это решение, нет в нем ошибок? Ответить на этот вопрос можно сравнив ответы между несколькими учащимися. А если никого рядом нет, то как быть? В подобных случаях неоценимую помощь может оказать система WolframAlpha (http://www.wolframalpha.com/).

Вызовем сначала систему WolframAlpha щелкнув по указанной выше ссылке или воспользуемся формой ниже.

Дадим задание системе  WolframAlpha решить уравнение 2x² - 2xy +9x +2y = 2 в целых числах. Для этого запишем наше уравнение в окошке выше или на сайте http://www.wolframalpha.com/ по специальным правилам ввода математических выражений, принятых в системе WolframAlpha следующим образом: 2x^2 - 2xy +9x +2y = 2 in integers .

Часть введенной команды "in integers" дает указание WolframAlpha решать наше уравнение в целых числах. Если этого не сделать, то будет решены несколько задач,в том числе и решение данного уравнения в целых числах. Для избежания недоразумений советуем стараться давать системе WolframAlpha более менее четкие задания. Какой бы она ни была "умной" это все же робот, который выполняет только то, что ему приказано, а не то, что подразумевается вами.

Затем остается нажать на клавише Enter щелкнуть на знаке "=" в окошке ввода формул. После этого появится готовое решение нашего уравнения:

Никаких подробных решений вы не получите,а только готовый ответ.  Однако "на безрыбье и рак рыба". Готовый ответ тоже большая помощь тому кто самостоятельно готовится к сдаче ЕГЭ.

Теперь несколько слов о технической информации о том, как надо вводить математические формулы в окошке системы WolframAlpha. Об этом можно прочитать на странице помощи по адресу http://www.wolframalpha.com/examples/Math.html .

В заключение предлагаем решить несколько упражнений на решение уравнений в целых числах, взятых из вариантов ЕГЭ по математике прошлых лет.

1.