Главная | Регистрация | Вход | RSSВоскресенье, 16.12.2018, 23:14

Сдай ЕГЭ и ЕНТ по математике на отлично!

Меню сайта
Категории раздела
Статьи о решении тестов ЕНТ [7]
Авторские статьи о приемах решения тестов ЕНТ по математике
Статьи о решении тестов ЕГЭ [20]
Здесь, как правило, будут рассматриваться решения тестовых заданий ЕГЭ типа С
Олимпиады вместо ЕГЭ [4]
Наш опрос
Система ЕНТ дает объективную оценку уровня знаний учащихся?
Всего ответов: 348
Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
Рейтинг сайта
Счетчик тИЦ и PR
Ваш IP
Узнай свой IP адрес

Каталог статей

Главная » Статьи » Подготовка к ЕГЭ и ЕНТ 2012 года » Статьи о решении тестов ЕГЭ

НОД всех чисел вида р^2 - 1
НОД всех чисел вида р^2 - 1


C6. Найдите наибольший общий делитель всех чисел вида p2 - 1, где р - простое число, большее 3, но меньшее 2010.


Решение I. Рассмотрим числа вида p2 - 1, где p>3. Самое меньшее из них равно 52 - 1 = 24. Значит, наибольший общий делитель указанных чисел больше 24 быть не может.

Докажем, что 24 - наибольший общий делитель данных чисел. Для этого достаточно доказать, что p2 - 1 делится на 24.

Пусть p = 2k + 1 (четных простых чисел больших 3 нет). Тогда А = p2 - 1 = 2k(2k+2)=4k(k+1).

 В произведении чисел k(k+1) обязательно есть чётное число. Поэтому А делится на 8. Осталось показать, что в произведении k(k + 1) делится на 3.

Если предположить, то ни k, ни k + 1 не делятся на 3, то k = 3n + 1 (если k = 3n + 2, то k + 1 = 3n + 3 - делится на 3). Но тогда простое число p = 2k + 1 = 2(3n + 1)+1 = 6n + 3 делится на 3. Чего быть не может. Значит, либо k, либо k + 1 делится на 3.

Таким образом, p2 - 1 делится на 8 и 3. Так как 8 и 3 взаимно простые числа, то p2 - 1 делится и на их произведение 24. Значит, 24 - наибольший общий делитель искомого множества чисел.

Ответ: 24.

Решение II. Каждое натуральное число можно представить в виде 6k или  6k + 1 или 6k + 2 или 6k + 3 или 6k + 4 или 6k + 5. Простое число р ( р > 3) можно представить в виде 6k + 1 или 6k + 5 (остальные числа: 6k, 6k + 2, 6k + 3 и 6k + 4 не являются простыми).

Если р = 6k + 1, то p2 - 1 = (р - 1)(р + 1) = 6k ⋅ (6k + 2) = 12k ⋅ (3k + 1). При этом одно из чисел k и 3k + 1 будет обязательно четным. Это легко проверить рассмотрением двух случаев: k - четное (в этом случае наше утверждение верно) и k - нечетное (в этом случае 3k + 1 - четное). Значит, число 12k ⋅ (3k + 1) делится на 24. Поэтому и 3p2 - 1 делится на 24.

Если р = 6k + 5, то p2 - 1 = (р - 1)(р + 1) = (6k + 4) ⋅ (6k + 6) = 12(3k + 2) ⋅ (k + 1). Как и в предыдущем случае можно доказать, что одно из чисел: 3k + 2 и k + 1 будет четным (представляем читателям это сделать самостоятельно). Значит, 12(3k + 2) ⋅ (k + 1) делится на 24. Из последнего следует, что и p2 - 1 делится на 24.

В предыдущем решении показано, что наибольший общий делитель наших чисел не превосходит 24. Так как все числа вида p2 - 1 делится на 24, то их наибольший общий делитель равен 24.

Ответ: 24.

N. B. Перед публикованием этой заметки я посмотрел в Интернете решения этой задачи. Практические они не отличаются от приведенных выше (или наоборот :). Однако на одном из форумов встретил слова: "Кто хотел использовать в решении условие про 2010, тот обломался" .

Действительно, ни в одном из приведенных выше решений не используется условие, что рассматриваются числа р не превосходящие 2010. Если отбросить в условии задачи это условие, то получим бесконечное множество чисел вида р2 - 1, где р - простое число, большее 3. Понятие же наибольшего общего делителя определено только для конечного множества. Значит, и вся теория использованная мною имеет место для конечного набора целых чисел.

Рассмотренная в этой заметке задача не нова. Я ее встречал в иной формулировке: "Доказать, что любое число вида р2 - 1, где р - простое число, большее 3 делится на 24". Думаю, что эта формулировка удачнее той, которая использована в задании типа С6.  В традиционной формулировке отпадает необходимость в рудименте "меньшее 2010" .

Как бы то ни было есть необходимость в обсуждении того, что вся теория о НОД и НОК действует только в мире конечного множества чисел.


Щелкни здесь и посмотри остальные уроки решения тестов ЕГЭ и ЕНТ!
Категория: Статьи о решении тестов ЕГЭ | Добавил: egeent (28.01.2012)
Просмотров: 5070 | Рейтинг: 5.0/1
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Вход на сайт
Поиск
Мои инструменты

Общие
1. Арифметический калькулятор
2. Инженерный калькулятор
3. Построение графиков

Арифметические
1. НОД и НОК двух чисел

Алгебраические
1. Разложение многочлена или числа на множители
2. Возведение многочлена в степень
3. Решение уравнения f(x)=0

Анализ
1. Область определения и множество значений функции
2. Экстремумы функции на отрезке
3. Уравнение касательной
4. Вычислить первообразную
5. Вычислить интеграл

Метод координат
1. Уравнение прямой по двум точкам
2. Уравнение плоскости по  трем точкам, не лежащим на одной прямой
3. Симметрия точки относительно плоскости

Мой видеоблок
Рассылка
Сдай ЕГЭ и ЕНТ по математике на пять!
Рассылка 'Сдай ЕГЭ и ЕНТ по математике на пять!'
Подписаться

Мой блок
Мой блог
Обмен банерами
Если вы хотите обменяться с нами баннерами, пишите мне.

Наша кнопка


Получить код:


Copyright MyCorp © 2018