Главная | Регистрация | Вход | RSSПятница, 16.11.2018, 01:54

Сдай ЕГЭ и ЕНТ по математике на отлично!

Меню сайта
Категории раздела
Статьи о решении тестов ЕНТ [7]
Авторские статьи о приемах решения тестов ЕНТ по математике
Статьи о решении тестов ЕГЭ [20]
Здесь, как правило, будут рассматриваться решения тестовых заданий ЕГЭ типа С
Олимпиады вместо ЕГЭ [4]
Наш опрос
Система ЕНТ дает объективную оценку уровня знаний учащихся?
Всего ответов: 348
Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
Рейтинг сайта
Счетчик тИЦ и PR
Ваш IP
Узнай свой IP адрес

Каталог статей

Главная » Статьи » Подготовка к ЕГЭ и ЕНТ 2012 года » Статьи о решении тестов ЕГЭ

Решение диафантового уравнения из теста ЕГЭ-2012
Решение диафантового уравнения из теста ЕГЭ-2012

Решите уравнение 3m + 4n = 5k в натуральных числах.

Решение.

Правая часть уравнения при делении на 3 должна давать тот же остаток, что и левая, т. е. 1.

Поэтому k четное число (5 при делении на 3 дает остаток 2, 25 - остаток 1, 125 - остаток 2 и т. д.).

Поэтому k = 2p и 3m + 4n = 25p.

3m = 25p - 4n,
3m = (5p - 2n)( 5p + 2n).

Числа 5p - 2n и 5p + 2n нечетные и их нечетный наибольший общий делитель является делителем их суммы 5p - 2n + 5p + 2n = 2 ⋅ 2n = 2n + 1. Но среди делителей числа 2n + 1 нечетным является только 1. Значит, эти числа будут взаимно простыми.

Если 5p - 2n ≠ 1, то произведение (5p - 2n)(5p + 2n) = 3m  имеет два различных простых делителя (одно является делителем 5p - 2n, а другое - 5p + 2n) . Чего быть не может.

Значит, 5p - 2n = 1.

5p - 2n = 1.
Если n = 1, то 5p = 3. Решений нет.
Если n = 2, то 5p = 5, p = 1, k = 2p = 2.

Подставляя значения n и k в исходное уравнение получаем 32 + 4n = 52, 4n = 16, n = 2.

Итак, имеем одно решение m = n = k = 2.

Еще раз вернемся к уравнению 5p - 2n = 1,
5p = 2n + 1.

Если n ≥ 3, то 2n + 1 при делении на 8 дает остаток 1. Значит, 5p тоже при делении на 8 дает остаток 8 и p должно быть четным числом; p = 2t, t ∈ N.

52t = 2n + 1,
(5t - 1)(5t + 1) = 2n.

5t + 1 = 2z и 5t - 1 = 2f, где z + f = n. 
Вычитая эти равенства получаем, 2 = 2z - 2f, где z > f.2 = 2f(2z - f - 1).

Понятно, что если f > 1 или z - f > 1, то правая часть уравнения будет больше 2. Значит, f = 1 и z - f = 1 . Тогда  z = 0, f = 1 и n = 1.

 52t = 3.  Решений нет. Значит, при n ≥ 3 данное уравнений решений не имеет. Остается единственное решение m = n = k = 2.

Ответ: m = n = k = 2 .

Категория: Статьи о решении тестов ЕГЭ | Добавил: egeent (27.01.2012)
Просмотров: 1798 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Вход на сайт
Поиск
Мои инструменты

Общие
1. Арифметический калькулятор
2. Инженерный калькулятор
3. Построение графиков

Арифметические
1. НОД и НОК двух чисел

Алгебраические
1. Разложение многочлена или числа на множители
2. Возведение многочлена в степень
3. Решение уравнения f(x)=0

Анализ
1. Область определения и множество значений функции
2. Экстремумы функции на отрезке
3. Уравнение касательной
4. Вычислить первообразную
5. Вычислить интеграл

Метод координат
1. Уравнение прямой по двум точкам
2. Уравнение плоскости по  трем точкам, не лежащим на одной прямой
3. Симметрия точки относительно плоскости

Мой видеоблок
Рассылка
Сдай ЕГЭ и ЕНТ по математике на пять!
Рассылка 'Сдай ЕГЭ и ЕНТ по математике на пять!'
Подписаться

Мой блок
Мой блог
Обмен банерами
Если вы хотите обменяться с нами баннерами, пишите мне.

Наша кнопка


Получить код:


Copyright MyCorp © 2018