Нестандартное решение задачи С5 с параметром
 Бродя по бескрайним просторам Youtube я нашел видеорешение такой задачи
Найдите все значения параметра, при каждом из которых уравнение
|(х - 1)2 - 21 - а| + |х - 1| + (1 - х)2 + 2а - 1 = 4 + 4а
имеет единственное решение. Найдите это решение для каждого значения а.
Мне не понравилось авторское решение этой задачи. Слишком уж оно было некрасивым и длинным. Захотелось придумать красивое и очень короткое решение этой задачи. По моему мне это удалось. Вот это мое решение.
Решение. Из условия следует, что если х - решение уравнения, то 2 - х тоже решение этого же уравнения (проверьте сами). Чтобы уравнение имело единственное решение необходимо выполнение равенства х = 2 - х, 2х = 2, х = 1.
Подставив х = 1 в исходное уравнение найдем подходящие значения параметра а.
После подстановки х = 1 в исходное уравнение получим
21 - а + 2а - 1 = 4 + 4а.
Умножив обе части последнего уравнения на 2 ⋅ 2а получим
4 + 22а = 2 ⋅ 2а(4 + 4а).
Введем обозначение 2а = t и будем иметь
4 + t2 = 8t + 2t3, 2t3 - t2 + 8t - 4 = 0, t2(2t - 1) + 4(2t - 1) = 0,
(2t - 1)(t2 + 4) = 0.
Так как t2 + 4 ≠ 0, то 2t - 1 = 0 и t = 1/2, 2а = 1/2, a = -1.
Значит данное уравнение МОЖЕТ иметь единственное решение только при а = -1.
Теперь подставим а = -1 в исходное уравнение.
(х - 1)2 - 4| + |х - 1| + (1 - х)2 + 1/4 = 4 + 1/4,
|(х - 1)2 - 4| + |х - 1| + (1 - х)2= 4.
А теперь еще один красивый прием, который позволит сильно упростить решение полученного уравнения.
Перепишем полученное уравнение так
|(х - 1)2 - 4| + (х - 1)2 - 4 + |х - 1| = 0. (*)
Понятно, что |(х - 1)2 - 4| + (х - 1)2 - 4 ≥ 0 и |х - 1| ≥ 0.
Значит, последнее уравнение имеет хотя бы одно решение только при |(х - 1)2 - 4| + (х - 1)2 - 4 = 0 и |х - 1| = 0.
|х - 1| = 0, х = 1
х = 1 - единственное решение уравнения (*).
Поэтому данное уравнение имеет единственно решение х = 1 только при а = -1.
Ответ: a = -1, x = 1.
Вот и все мое решение, которое элегантнее чем то, которое содержится в видеоролике по адресу https://www.youtube.com/watch?v=XRkXMurC2X8 . | 
