Главная | Регистрация | Вход | RSSВоскресенье, 16.12.2018, 22:45

Сдай ЕГЭ и ЕНТ по математике на отлично!

Меню сайта
Категории раздела
Статьи о решении тестов ЕНТ [0]
Статьи о решении тестов ЕГЭ [22]
Наш опрос
Система ЕНТ дает объективную оценку уровня знаний учащихся?
Всего ответов: 348
Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
Рейтинг сайта
Счетчик тИЦ и PR
Ваш IP
Узнай свой IP адрес

Каталог статей

Главная » Статьи » Подготовка к ЕГЭ и ЕНТ в 2014-2015 году » Статьи о решении тестов ЕГЭ

Нестадартное решение задачи С5 с параметром
Нестандартное решение задачи С5 с параметром

x4ga9-2370 (539x273, 20Kb) Бродя по бескрайним просторам Youtube я нашел видеорешение такой задачи

Найдите все значения параметра, при каждом из которых уравнение

|(х - 1)2 - 21 - а| + |х - 1| + (1 - х)2 + 2а - 1 = 4 + 4а

имеет единственное решение. Найдите это решение для каждого значения а.


Мне не понравилось авторское решение этой задачи. Слишком уж оно было некрасивым и длинным. Захотелось придумать красивое и очень короткое решение этой задачи. По моему мне это удалось. Вот это мое решение.

Решение. Из условия следует, что если х - решение уравнения, то 2 - х тоже решение этого же уравнения (проверьте сами). Чтобы уравнение имело единственное решение необходимо выполнение равенства х = 2 - х, 2х = 2, х = 1.

Подставив х = 1 в исходное уравнение найдем подходящие значения параметра а.

После подстановки х = 1 в исходное уравнение получим

21 - а + 2а - 1 = 4 + 4а.
Умножив обе части последнего уравнения на 2 ⋅ 2а получим

4 + 2 = 2 ⋅ 2а(4 + 4а).

Введем обозначение 2а = t и будем иметь

4 + t2 = 8t + 2t3, 2t3 - t2 + 8t - 4 = 0, t2(2t - 1) + 4(2t - 1) = 0,

(2t - 1)(t2 + 4) = 0.

Так как t2 + 4 ≠ 0, то 2t - 1 = 0 и t = 1/2, 2а = 1/2, a = -1.

Значит данное уравнение МОЖЕТ иметь единственное решение только при а = -1.

Теперь подставим а = -1 в исходное уравнение.

(х - 1)2 - 4| + |х - 1| + (1 - х)2 + 1/4 = 4 + 1/4,

|(х - 1)2 - 4| + |х - 1| + (1 - х)2= 4.

А теперь еще один красивый прием, который позволит сильно упростить решение полученного уравнения.

Перепишем полученное уравнение так

|(х - 1)2 - 4| + (х - 1)2 - 4 + |х - 1| = 0. (*)

Понятно, что |(х - 1)2 - 4| + (х - 1)2 - 4 ≥ 0 и |х - 1| ≥ 0.

Значит, последнее уравнение имеет хотя бы одно решение только при |(х - 1)2 - 4| + (х - 1)2 - 4 = 0 и |х - 1| = 0.

|х - 1| = 0, х = 1

х = 1 - единственное решение уравнения (*).

Поэтому данное уравнение имеет единственно решение х = 1 только при а = -1.

Ответ: a = -1, x = 1.

Вот и все мое решение, которое элегантнее чем то, которое содержится в видеоролике по адресу https://www.youtube.com/watch?v=XRkXMurC2X8 .
Категория: Статьи о решении тестов ЕГЭ | Добавил: egeent (11.07.2014)
Просмотров: 557 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Вход на сайт
Поиск
Мои инструменты

Общие
1. Арифметический калькулятор
2. Инженерный калькулятор
3. Построение графиков

Арифметические
1. НОД и НОК двух чисел

Алгебраические
1. Разложение многочлена или числа на множители
2. Возведение многочлена в степень
3. Решение уравнения f(x)=0

Анализ
1. Область определения и множество значений функции
2. Экстремумы функции на отрезке
3. Уравнение касательной
4. Вычислить первообразную
5. Вычислить интеграл

Метод координат
1. Уравнение прямой по двум точкам
2. Уравнение плоскости по  трем точкам, не лежащим на одной прямой
3. Симметрия точки относительно плоскости

Мой видеоблок
Рассылка
Сдай ЕГЭ и ЕНТ по математике на пять!
Рассылка 'Сдай ЕГЭ и ЕНТ по математике на пять!'
Подписаться

Мой блок
Мой блог
Обмен банерами
Если вы хотите обменяться с нами баннерами, пишите мне.

Наша кнопка


Получить код:


Copyright MyCorp © 2018