В5. Для строительства дачи можно использовать один из трех вариантов фундамента: каменный, бетонный и фундамент из пеноблоков. Для каменного фундамента необходимо 9 тонн камня и 9 мешков цемента. Для фундамента из пеноблоков необходимо 5 кубометров пеноблоков. Для бетонного фундамента необходимо 12 тонн щебня и 34 мешка цемента. Тонна камня стоит 2100 рублей, кубометр пеноблоков стоит 2500 рублей, щебень стоит 630 рублей за тонну, а мешок цемента стоит 200 рублей. Сколько рублей придется заплатить за самый дешевый фундамент?

Решение. Для каменного фундамента необходимо затратить деньги на 9 тонн камня и 9 мешков цемента, т. е. 9 • 2100 + 9 • 200 = 20700 рублей. Фундамента из пеноблоков будет стоить 5 • 2500 = 12500 рублей, а бетонного фундамент потребует расходов на 12 • 630 + 34 • 200 = 14360 рублей. Значит, самым дешевым будет фундамент из пеноблоков за 12500 рублей.

В6. Найдите площадь прямоугольника ABCD. Размер каждой клетки 1 см х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение. Рассмотрим прямоугольник MNPK. Нетрудно видеть, что площадь данного прямоугольника ABCD равна половине площади прямоугольника MNPK. S_ABCD = 0,5 • 5 • 4 = 10.

В7. Найдите значение выражения log₅135 - log₅5,4.

Решение. Здесь также нет ничего сложного. Применяем известную формулу: log₅135 - log₅5,4 = log₅(135/5,4) = log₅25 = 2.

В8. На рисунке изображен график функции у = f(x) и касательная к этому трафику, проведенная в точке с абсциссой 4. Найдите значение производной функции у = f(x) в точке х_о = 4.

Решение. Как известно, производная f'(х_о) - это тангенс угла наклона между осью абсцисс и касательной к графику этой функции, проходящей через точку с абсциссой хх_о = 4. Поэтому f'(х_о) = tg∠AMK = -tg∠AMT = -2:4 = -0,25.

В9. Объем цилиндра равен 1 см³, а высоту увеличили в 3 раза. Найдите объем получившегося цилиндра. Ответ дайте в см³.

Решение. Пусть радиус основания исходного конуса равен r, а высота – h. Тогда объем исходного конуса равен 1/3 r²h. Уменьшив радиус основания в 2 раза, а высоту увеличив в 3 раза получим новые значения радиуса основании и высоты: 0,5r и 3h. Тогда объем нового конуса будет равен 1/3 (0,5r)²•3h = 0,25r²h. Найдем отношение объемов нового и исходного конусов: 0,25r₂h : 1/3 r²h = 0,75.

В10. Высота, на которой находится камень, брошенный с земли вертикально вверх, меняется по закону h(t) = 2 + 14t - 5t² (м). Сколько секунд камень будет находиться на высоте более 10 метров?

Решение. Чтобы ответить на вопрос задачи необходимо решить неравенство h(t) > 0, 2 + 14t - 5t² > 10; - 5t² + 14t – 8 > 0; 5t² - 14t + 8 < 0. Решим уравнение 5t² - 14t + 8 = 0. D = 196 – 160 = 36; t₁ = (14-6)/10 = 0,8; t₂ = (14+6)/10 = 2.

Методом интервалов решаем наше неравенство и получаем, что t ∈ (0,8; 2). Поэтому камень будет находиться на высоте более 10 метров 2 – 0,8 = 1,2 секунды.

Решение. Найдем производную данной функции. y' = 9 – 8cosx. Теперь вычислим нули производной. 9 – 8cosx = 0; cosx = 9/8 – это уравнение решений не имеет. Вычислим значения данной функции в точках -π/2 и 0. y(-π/2) = -4,5π – 8 + 7 = -4,5π – 1; y(0) = 7. Так как -4,5π – 1 < 7, то 7 - наибольшее значение функции у = 9х – 8sinx + 7 на отрезке [-π/2;0].

B12. Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 ч. Через 5 ч после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. За сколько часов был выполнен весь заказ?

Решение. Производительность каждого рабочего равна 1/15. За 5 часов первый рабочий выполнил (1/15) •5 = 1/3 всей работы. Поэтому, работая совместно, они выполнили 1 - 1/3 = 2/3 всей работы. Совместная производительность двух рабочих равна 1/15 • 2= 2/15. Тогда 2/3 оставшейся работы они выполнят за 2/3: 2/15 = 5 часов. Значит, вся работа будет выполнена за 5 + 5 = 10 часов.